扭转“乾坤”的数学家黎曼

他的一生非常短暂，而且极度贫困，对数学的贡献只能集成一本薄薄的平装本，但他却是科学史上的一位枢纽人物，100 多年后的今天，他的思想还能够让人们感到最强烈的震撼。

    爱因斯坦相对论的重大意义无人不知，但是相对论的建立有个重要的“幕后英雄”，那就是建立起特殊几何体系的黎曼。在爱因斯坦看来，狭义相对论的发现是水到渠成的事情。因为即使他不发现，其他科学家也会在10 年内发现，所以爱因斯坦并不特别以发现狭义相对论为荣。但对于广义相对论的发现，爱因斯坦就深以为荣了，因为他认为，如果不是他发现了广义相对论，人类也许要晚上百年才能发现。

    如果说，提出狭义相对论，爱因斯坦自身的知识还算够用的话，到研究广义相对论时，爱因斯坦的数学则捉襟见肘。这时候，继大数学家高斯之后首屈一指的数学家黎曼的工作帮助了爱因斯坦，使他最终创建了广义相对论。黎曼为自己独创的这套几何体系耗尽了一生的心血，他对数学的深刻洞察力令世人惊叹。

     “愈贫愈坚”的少年天才

    黎曼生于1826年，比高斯刚好小五十岁。他的出生地布列塞伦兹是德国的一个村庄，高斯那个时候正好在这个地区进行土地丈量。

黎曼的父亲是个牧师，家里很贫困，黎曼从小体弱多病，原本也打算做牧师尽早养家糊口，但是他的数学天才让他有了另一个选择。

黎曼从小酷爱数学。他6 岁时开始学习算术，不仅能解决所有留给他的数学问题，而且还经常提一些问题来捉弄他的兄弟姐妹。10 岁时他跟一位职业教师学习高级算术和几何，很快便超过了老师，常常对一些问题能做出更好的答案。

    由于经济拮据，黎曼中学时总是靠步行奔波于家和学校之间，当然没有能力买书。幸运的是，中学校长及时地发现了他的数学才能，考虑到他经济上的困难，校长特许黎曼可以从自己私人藏书室里借阅数学书籍。有一次，黎曼借了一部数学家勒让德的《数论》，这是一部共859 页的4 卷本的名著，以晦涩难懂著称。黎曼十分珍惜，他如饥似渴地自学起来，6 天之后，黎曼便学完并归还了这本书。校长问他：“你读了几页？”黎曼说：“这是一本了不起的书，我已经全部掌握了。”之后，校长就这本书的内容考他。黎曼对答如流，并且回答得很全面。这个时候，他只有14 岁。

     19 岁时，黎曼进入哥廷根大学学习，当时的哥廷根大学由于有高斯而成为世界数学的中心之一，受这里数学研究气氛的感染，黎曼征得父亲同意，决定放弃原本选择的神学，专攻数学。生活虽然清贫，但黎曼学习极为勤勉，此后他转到柏林大学，获得了更多数学家的指点，从而进入新的数学领域。1851 年底，黎曼将其博士论文呈交给大数学家高斯审阅。高斯在看了论文之后兴奋不已，对黎曼的论文做出了高度评价，这对高斯来说是罕见的，因为他对别人的赞赏一向极为吝啬。高斯评价：“黎曼先生交来的论文提供了令人信服的证据，说明作者对该文所论述的这一问题作了全面深入的研究，作者具有创造性的、活跃的、真正的数学头脑，具有灿烂丰富的创造力。”

    堪与高斯媲美的年轻人

    毕业后，贫困依然纠缠着黎曼。但他认为，只要能够勉强维持生活，能够让他研究数学，他就心满意足了。他从不因经济上的拮据而感到沮丧。他一方面积极准备讲师职位的就职演讲论文，另一方面认真从事数学方面的研究工作。他的就职论文具有相当的难度，为了确定论文的选题，他向高斯提交了3 个题目，以便让高斯在其中选定一个。

其中第3 个题目涉及几何基础，这个题目黎曼当时并没有准备多少案头，因此黎曼从心底里希望高斯不要选中它。可是，高斯对第3 个题目却深有研究，他已思考这个问题达60 年之久。出于想看看黎曼对这个深奥的问题会做些什么样的创造性工作，高斯指定第3 个题目作为黎曼就职演讲论文的题目。

    令所有人惊讶的是，经过不到两个月时间的准备，黎曼就做了“论作为几何基础的假设”的演讲。这被认为是数学史上发表的内容最丰富的长篇论文，其中提出了一种新的几何体系。该篇论文中一大堆陌生概念，一长串复杂的计算，竟然使被誉为世界数学中心的哥廷根大学全体教员除高斯以外一个个眼花缭乱。论文在表述上堪称典范。高斯带着少有的热情在同事面前作了高度评价。

    贫穷仍不断地困扰着黎曼，有时他的一家甚至陷入对口粮都需要算计的地步，不久之后，黎曼的父亲和多个兄弟姐妹相继去世，就是在这种情况下，黎曼仍全身心地投入到数学研究工作之中，在科学的崎岖小道上艰苦奋斗，终于在众多的数学领域里做出了许多奠基性和创造性的研究工作：他从几何方向开创了复变函数论；他是现代意义的解析数论的奠基者；他对微积分的严格处理作出了重要贡献；他在数学物理和微分方程等领域内也成果丰硕；他对阿贝尔积分和阿贝尔函数的研究，开创了现代代数几何；他首创用复解析函数研究数论问题，开创了现代意义的解析数论；他对超几何级数的研究，推动了数学物理和微分方程理论的发展。随着研究成果的问世，黎曼在数学界的学术声望迅速提高。他受到许多世界著名数学家的赞扬，也最终继承了高斯生前的教席，获得了一个科学家可能得到的最高荣誉。

    但是，长时期清贫的生活、过度的操劳、发奋的研究，使得黎曼身体虚弱、精力衰竭。在病魔缠身之际，只要有一些力气，黎曼仍坚持数学研究工作。虽然这个时期黎曼积极就医和疗养，但因病入膏肓终无疗效。1866 年7 月20 日，黎曼那颗纯洁、高尚的心停止了跳动。他过早地离开了人世，也过早地离开了数学，年仅40 岁。

最具原创力的数学家

    黎曼是数学史上最具独创精神的数学家之一，在他的诸多思想成果中，他亲手创造出来的黎曼几何，也就是他的就职论文中受到高斯称赞的新几何体系，展现出的奇异想像力尤其令人惊叹。

    多年以后，当黎曼的想法在物理界完全成熟、开花结果时，爱因斯坦曾经写道：“惟有黎曼这个孤独而不被世人了解的天才，在上个世纪中叶便发现了空间的新概念———空间不再一成不变，空间参与物理事件的可能性才开始显现。”

黎曼的新概念是什么？首先，他的几何并不是我们在书本上学到的“欧式几何”，而是古怪的“非欧几何”，黎曼空间描述说，我们对空间不该存有任何先入为主的观念，不能以为空间或者整个宇宙是平直的，要正确认识空间，就必须对周遭的空间进行探测：沿着直线路径进行测量，记录所发现的一切结果。按照他所创建的“前卫”的几何学，空间应该是弯曲的，对于这一点的理解，必须摒弃我们以往固有的直觉，就像摒弃地表是平坦的一样，在小的空间范围内，我们无法察觉这一点，但是一旦空间相当大，甚至到了宇宙尺度，差别就显著了，黎曼的宇宙是个“球”！就像古人以为地球是四方的，而实际上它是个圆球一样。

黎曼的球型空间概念，加上他提出的“这种空间或许是宇宙形状的正确描述”，构成科学史上最具原创力、最离经叛道的宇宙图像之一。20 世纪的顶尖物理学家波恩曾经说，这种有限但是无界的空间，是人类对自然界所做的最为伟大的构想之一。具有讽刺意味的是，波恩以为那是爱因斯坦的想法。因为波恩并不清楚爱因斯坦在宇宙学的研究中，借用了黎曼的思想。

黎曼年仅二十多岁就发明了许多的概念，现代的宇宙学家对这些概念有浓厚的兴趣。如今我们回顾历史，他在哥廷根大学的那场就职演讲明显地预示了现代宇宙学的诞生。

可惜黎曼虽然模糊地意识到了未来研究的发展方向，但还是欠缺一个关键环节，以至于无法导出一幅完整的宇宙图像。我们永远无法知道，如果黎曼拥有较长的寿命，他的想法将会朝着什么方向发展，不幸的是，黎曼在40 岁就与世长辞了，他到死也未料到，他所创建的新几何才是我们这个世界真正的体现，负责完成这项工作的是爱因斯坦。

黎曼不但对纯数学做出了划时代的贡献，他也十分关心数学与物理世界的关系，他写过一些关于热、光、磁、气体理论、流体力学及声学方面的有关论文。他是对冲击波作数学处理的第一个人，二十岁出头的他就试图将引力与光统一起来，并立志发展一个连接电、磁、光与重力的统一数学理论。但是“统一场论”这个想法，实在超前太多，以至于一个世纪之后，爱因斯坦为这个问题白白花了晚年许多时光，都没有任何成果。

    站在黎曼的肩膀上

    对于黎曼的贡献，人们是这样评价的：“黎曼把数学向前推进了几代人的时间”。在黎曼之后，尽管一系列优秀的数学家前仆后继地发展了非欧几何。但是即使在数学家内部也只不过认为这是一套漂亮的游戏而已。幸好数学家的癖好和物理学家有不甚相同之处，在数学家的世界里，漂亮但无用的理论“玩意儿”触目皆是，但在物理学家那里会被无情地抛弃掉。仿佛上帝为了捉弄人类，先扔下一把钥匙，物理学家不屑一顾而数学家们喜滋滋地捡走了，几十年后上帝再重重地扔下一把大锁砸在爱因斯坦头上，爱因斯坦几经努力才在数学家的旧仓库中找到了那把锈迹斑斑的钥匙———黎曼几何。

    一开始爱因斯坦没有充足的信心完成广义相对论，他发现引力场导致的几何结果当真匪夷所思。他向老朋友格罗斯曼求助，后者第二天就回电话向爱因斯坦介绍黎曼的几何，这让爱因斯坦茅塞顿开———这不就是他这些年来苦苦觅寻的吗？爱因斯坦无疑是极端幸运的，黎曼几何仿佛是为广义相对论量身定做的工具，格罗斯曼正好是这方面的专家。不可否认，爱因斯坦学这一套数学颇为吃力。

    如果让爱因斯坦自己来凭空创造一套几何，纵使有格罗斯曼的帮助，也难以成功。正是黎曼半个世纪前的工作，才使爱因斯坦打开了广义相对论的大门，完成了物理学的一场革命。因此，爱因斯坦后来感叹：“理论物理学家越来越不得不服从于纯数学形式的支配了。”

    爱因斯坦相对黎曼向前迈出了关键的一步，他认识到，我们所在的这个空间，不是简单的长、宽、高三维空间，而是包含时间在内的四维时空；不是我们想像中的平直空间，而是一个弯曲的空间。

    弯曲意味着什么呢？就是黎曼的宇宙观所阐述的那样，如果现在你朝某个方向射出一束光线，若干年后，如果地球，甚至银河系还存在的话，你会发现光从你背后绕了回来。当然，我们不可能找到另一位麦哲伦船长，像拔锚扬帆环航地球一周那样，驾驶飞船来一次环宇宙飞行，验证宇宙是弯曲的。

    不过，正是黎曼的几何让爱因斯坦成为在思想上环航宇宙的“麦哲伦”。