POJ 2987 Firing

最大权闭合图，详细介绍见Amber大牛的《最小割模型在信息学竞赛中的应用》

 

建立源点S和T，若点i的w权值为正,S向点i连一条容量为w的边，否则，i向T连一条容量为-w的边，对于有向边i->j，i向j连一条容量为无穷的边

 

最大权=sum-最小割，sum为所有正点权的和

 

最后还需要输出最少要裁掉几个人，根据最小割的性质，被裁掉的人肯定不在最小割中，所以只要从源点开始对残留网络DFS，能访问到的点就删去

 

证明：（转自http://hi.baidu.com/sector/blog/item/3389372a2bd82bf099250ab1.html）

命题: 根据闭合图定义建图G,在对图G运行最大流后,最大权闭合图V的势是唯一的.

证明:设两个个最大全闭合图V1,V2,它们的权值相等,不失一般性,假设|V1|<|V2|.考虑以下情况:

1)若V1包含于V2,因为|V1|<|V2|,则V2-V1不等于空集.同时,不存在从V1到V2-V1的边,否则根闭合图定义矛盾.由于V1和V2的权值相同,则说明V2-V1的权值为0.根据最大权闭合图的求法以及运行过最大流可知,源点S不可能到达V2-V1.否则与V2-V1权值为0矛盾.进而,运行最大流以后,实际上只有|V1|大小的最大权闭合图.

2)若V1∩V2等于空集,则把V1和V2合并将产生一个更大的闭合图.因此,V1∩V2不等于空集,不妨记为S=V1∩V2,则不存在从S到V1-S或V2-S的边,若存在x属于V1-S,则对于V2来说,与闭合图定义矛盾,同理知V1.根据已知有,W(S)+W(V1-S)=W(S)+W(V2-S),即W(V1-S)=W(V2-S),若W(V1-S)>0,则将V1,V2合并会产生更大的闭合图,矛盾;若W(V1-S)<0,则将V1-S和V2-S去掉,使得S本身为一个闭合图,且它的权比V1或V2大,矛盾.因此W(V1-S)=W(V2-S)=0,由1)的证明知,从源点不可达V1-S或V2-S,因此,实际上得到的最大权闭合图就是S,其权值与V1,V2相同.

综上所述,运行最大流后,最大权闭合图的势是唯一的.

 

代码：

#include<iostream>using namespace std;const int MAX=5005;const int inf=1<<30;struct node{int v,c,next;}g[500000];int dis[MAX],num[MAX],pre[MAX],cur[MAX],adj[MAX],vis[MAX];int s,t,e,vn,n,m,cnt;void add(int u,int v,int c){g[e].v=v; g[e].c=c; g[e].next=adj[u]; adj[u]=e++; g[e].v=u; g[e].c=0; g[e].next=adj[v]; adj[v]=e++;}__int64 sap(){int i,u,v,flag;__int64 flow=0,aug=inf;for(i=0;i<=vn;i++){dis[i]=num[i]=0;cur[i]=adj[i];}num[0]=vn;u=s;pre[s]=s;while(dis[s]<vn){flag=0;for(i=cur[u];i!=-1;i=g[i].next){v=g[i].v;if(g[i].c&&dis[u]==dis[v]+1){flag=1;cur[u]=i;pre[v]=u;if(aug>g[i].c)aug=g[i].c;u=v;if(u==t){flow+=aug;while(u!=s){u=pre[u];g[cur[u]].c-=aug;g[cur[u]^1].c+=aug;}aug=inf;}break;}}if(flag)continue;if(--num[dis[u]]==0)return flow;for(dis[u]=vn,i=adj[u];i!=-1;i=g[i].next){v=g[i].v;if(g[i].c&&dis[v]<dis[u]){dis[u]=dis[v];cur[u]=i;}}dis[u]++;num[dis[u]]++;u=pre[u];}return flow;}void dfs(int u){int i,v;vis[u]=1;for(i=adj[u];i!=-1;i=g[i].next){v=g[i].v;if(!vis[v]&&g[i].c){dfs(v);cnt++;}}}int main(){int i,j,a,b;__int64 cost,sum,max_flow;scanf("%d%d",&n,&m);memset(adj,-1,sizeof(adj));sum=s=e=0;t=n+1;vn=t+1;for(i=1;i<=n;i++){scanf("%I64d",&cost);if(cost>0){add(s,i,cost);sum+=cost;}else if(cost<0){add(i,t,-cost);}}j=0;for(i=1;i<=m;i++){scanf("%d%d",&a,&b);add(a,b,inf);}max_flow=sap();cnt=0;memset(vis,0,sizeof(vis));dfs(s);cout<<cnt<<" "<<sum-max_flow<<endl;return 0;}