1185 炮兵阵地
来源:互联网 发布:股票自动交易编程 编辑:程序博客网 时间:2024/04/28 04:11
炮兵阵地
Description
如果在地图中的灰色所标识的平原上部署一支炮兵部队,则图中的黑色的网格表示它能够攻击到的区域:沿横向左右各两格,沿纵向上下各两格。图上其它白色网格均攻击不到。从图上可见炮兵的攻击范围不受地形的影响。
现在,将军们规划如何部署炮兵部队,在防止误伤的前提下(保证任何两支炮兵部队之间不能互相攻击,即任何一支炮兵部队都不在其他支炮兵部队的攻击范围内),在整个地图区域内最多能够摆放多少我军的炮兵部队。
Input
接下来的N行,每一行含有连续的M个字符('P'或者'H'),中间没有空格。按顺序表示地图中每一行的数据。N <= 100;M <= 10。
Output
Sample Input
5 4PHPPPPHHPPPPPHPPPHHP
Sample Output
6
Source
Noi 01
分析一 盲目搜索
初学者一般看到此题估计会无从着手。如果用“万能”的搜索算法,回溯或者枚举所有的状态来求解的话,那算法复杂度将是O(2^(m*n))。
又考虑到m<=10,n<=100,这将是个及其恐怖的工作。
大家知道凡是指数级的算法一般不能作用于较大数据的运算。
分析二 动态规划
观察地图,对于任何一行的炮兵放置都与其上下几行的放置有关。如果我们逐行的放置炮兵,并且每次都知道前面每行所有放置法的最优解(即最大炮兵数),那么我们要求放置到当行时某种放置法的最优解,就可以枚举前面与其兼容(即不会发生冲突)的所有放置法,从中求得本行的最优解。
那么就可以把N*M行的最优解装换成了(N-1)*M行的最优解。此算法的基础在于,每行的状态(炮兵放置情况)只与前几行的状态有关。
这满足最优子问题和无后效性的性质,因此可以使用动态规划求解。
最优子问题大家都知道。无后效性就是指最优解只与状态有关,而与到达这种状态的路径无关。
此问题的状态就是指该行的炮兵放置法
动态方程
f[i][j][k] = max{f[i-1][k][p]+c[j]},(枚举p的每种状态)
f[i][j][k]表示第i行状态为s[j],第i-1行状态为s[k]的最大炮兵数,且s[j],s[k],s[p]及地形之间互不冲突
算法复杂度:O(N*S*S*S),N为行数,S为总状态数
问题如何描述
好了,思路大致都准备好了。但如何描述问题呢?
动态规划的关键就在于如何描述状态。如何用二进制串表示状态的话,那么在代码中表示起来将很复杂,不利于编写代码。
怎么办?
状态压缩
现在引入最关键的感念,状态压缩
我们把一个二进制串的相应十进制数称为该二进制串的压缩码,这就将一个二进制串压缩为一个简单的十进制状态。
伴随着这个概念而来的是其相应的位运算,&, |, !,<<, >>等。
相关运算
我们现在就可以用与运算&判断两个压缩状态间、压缩状态与压缩地图间是否冲突。
用移位运算>>和求余运算%计算压缩状态所包含的炮兵数
困惑?
现在似乎大功告成了,但是所写的代码提交运行结果为,Time Limit Exceed,即超时。
为什么呢?
复杂度解析
看看题目条件吧!Time Limit: 2000MS Memory Limit:65536K
我们采用压缩二进制方式来表示一行的所有状态,那么会有每行会有2^10即1024个状态。因此在最坏情况下(M=10,N=100,所有地点都是平原),会将扫描100*1024*1024*1024(10^11,远远超过2S),因此不可取。
O(N*S*S*S)不可取么?
算法加速
不!
仔细分析,状态数S真的是2^10么?
显然,有些是伪状态,自身就是个矛盾体。那么可以提前摒弃这些伪状态。记过计算,单独一行(10列)的合法状态数只有60个!!
求合法状态的代码段
sNum = 0; //合法状态总数
for ( int k = 0; k < (1<<column); k++ ){
int m = k;
//判断该状态是否合法
if ( ( (m<<1)&k ) || ( (m<<2)&k ) )
continue;
//该合法状态数包含的炮兵数
c[sNum] = m%2;
while ( m = (m>>1) ) c[sNum] += m%2;
s[sNum++] = k; //合法状态数
}
优化
考虑到本行最优解f[i][j][k]只与前一行f[i-1][k][p]有关,也就是说每次计算只需要前一行的最优解就可以了。
那只用申请f[2][61][61]的内存,就可以实现该算法,而非f[100][61][61],更非f[100][1025][1025]。
可是,如果用向量f[0]表示当前行的最优解,向量f[1]表示前一行的最优解,那每次迭代计算时岂不是又要交换两个向量的值?
滚动数组
借助滚动数组技术,可以轻松实现这个转换!
引入迭代坐标roll,向量f[roll]指向当前行,计算f[roll]时,f[(roll+1)%2]指向前一行,计算结束后,令roll = (roll+1)%2,就可以实现行转换了。
我们只要初始roll = 0即可,运算结束时,我们不必知道roll的值,但roll必然指向待计算的那行,(roll+1)%2指向最终结果所在行。
运行结果
Problem: 1185 User: new_star
Memory: 316K Time: 235MS
Language: G++ Result: Accepted
小结
1.最优子结构和无后效性
2.压缩状态的动态规划
3.位运算
4.滚动数组
- poj 1185 炮兵阵地
- POJ 1185 炮兵阵地
- 1185 炮兵阵地
- poj 1185炮兵阵地
- poj 1185 炮兵阵地
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- poj 1185 炮兵阵地
- poj 1185 炮兵阵地
- POJ-1185-炮兵阵地
- POJ 1185 炮兵阵地
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