银币组合算法分析

[题目]有足够量的2分、5分、1分硬币，请问凑齐1元钱有多少种方法？

此题乍看上去，只会觉得完全无法入手，但是按照由简至繁的思路，我们可以先考虑极端简单的情况，假如把问题规模缩小成:有足够量的1分硬币，请问凑齐1分钱有多少种方法？毫无疑问，答案是1。

得到这一答案之后，我们可以略微扩大问题的规模： 有足够量的1分硬币，凑齐2分钱有多少种方法？凑齐n分钱有多少种方法？答案仍然是1

接下来，我们可以从另一个角度来扩大问题，有足够量的1分硬币和2分硬币，凑齐n分钱有多少种方法？这时我们手里已经有了有足够量的1分硬币，凑齐任意多钱都只有1种方法，那么只用1分钱凑齐n-2分钱，有1种方法，只用1分钱凑齐n-4分钱，有1种方法，只用1分钱凑齐n-6分钱，有1种方法......

而凑齐这些n-2、n-4、n-6这些钱数，各自补上2分钱，会产生一种新的凑齐n分钱的方法，这些方法的总数+1，就是用1分硬币和2分硬币，凑齐n分钱的方法数了。

在面试时，立刻采用这种思路是一种非常有益的尝试，解决小规模问题可以让你更加熟悉问题，并且慢慢发现问题的特性，最重要的是给你的面试官正面的信号——立即动手分析问题比皱眉冥思苦想看起来好得多。

对于此题而言，我们可以很快发现问题的规模有两个维度：用a1-ak种硬币和凑齐n分钱，所以我们可以记做P(k,n)。当我们发现递归公式 P(k,n) = P(k-1,n - ak) + P(k-1,n - 2*ak) + P(k-1,n - 3*ak) ... ... 时，这个问题已经是迎刃而解了

通常由简至繁的思路，用来解决动态规划问题是非常有效的，当积累了一定量简单问题的解的时候，往往通向更高一层问题的答案已经摆在眼前了。