POJ 2773 Happy 2006

求与m互素的数中第k大的数是多少

首先，如果(a,m)=(a+k*m,m)

也就是说，从1开始，与m互素的数是可以分段的，每m个数分成一段，且每段里面有PHI(m)个数，那么，我们只要知道[1,m]这个区间的分布情况就行了，令base=(k-1)/PHI(m),k=(k-1)%PHI(m)+1,那么现在的base*n+f(k)就是我们要求的那个数，f(k)为[1,m]中与m互素的第k大的数

 

第一次写的时候超时了，原因是我把[1,m]中与m互素的数全部求出来了,但题目只要求第k大的数，我们其实可以从1开始枚举，枚举到第k个的时候直接返回结果，这样子勉强过，2500多ms

 

然后，想到，如果d=gcd(i,m)!=1，那么gcd(i+j*d,m)也不为1，这样的话，我们可以排除掉一些值，判断某些值是否与m互素时只要O(1)的时间，这样可以优化到1700ms左右

 

这说明，我们节省的计算gcd的时间是比较可观的，那么，是否可以进一步优化呢？答案是肯定的，我们可以用O(m)的时间预处理所有与m不是互素的数，然后用O(1)的时间判断[1,m]内某个数是否和m互素

 

我们在计算PHI(m)时，其实已经对m进行分解，求出了m的所有素因子，再想，所有与m不互素的数，都至少与m有一个公共素因子，于是，我们可以在每次找到一个m的素因子后，将它的整数倍标记，这样，后面枚举的时候就可以用O(1)的时间判断了，这样的话只要47ms，非常大的以一个优化

 

其实这题只要算出1000内的素数就可以了,设m=p1^a1*p2^a2*...*pn^an，如果存在pi>1000,pj>1000,m>10^6,如果pi>1000,ai>=2,m>10^6，所有只要求出1000内的素数就可以将m分解了

 

代码:

#include<iostream>#include<memory.h>#include<string>#include<cstdio>#include<algorithm>#include<math.h>#include<stack>#include<queue>using namespace std;bool isprime[1000005],flag[1000005];__int64 prime[1000000];int cnt;void get_prime(){int i,j,t;memset(isprime,true,sizeof(isprime));//t=(int)(sqrt(1000000.0));cnt=0;for(i=2;i<=1000;i++){if(isprime[i]){prime[cnt++]=i;for(j=i+i;j<=1000;j+=i)isprime[j]=false;}}/*if(j%2==0)j++;for(i=j;i<=1000000;i+=2){if(isprime[i])prime[cnt++]=i;}*/}__int64 n,k;__int64 eular(__int64 n){__int64 i,j,res=1,nn=n;memset(flag,0,sizeof(flag));for(i=0;i<cnt&&prime[i]*prime[i]<=n;i++){if(n%prime[i]==0){res*=prime[i]-1;n/=prime[i];while(n%prime[i]==0){res*=prime[i];n/=prime[i];}for(j=prime[i];j<=nn;j+=prime[i])flag[j]=1;}}if(n>1){res*=n-1;for(j=n;j<=nn;j+=n)flag[j]=1;}return res;}__int64 gcd(__int64 a,__int64 b){if(b==0)return a;elsereturn gcd(b,a%b);}int get_rprime(__int64 n){int i,j,x=0;//memset(flag,0,sizeof(flag));for(i=1;i<n;i++){if(flag[i])continue;/*__int64 d=gcd(i,n);if(d==1){x++;if(x==k)return i;}else{for(j=i+d;j<=n;j+=d)flag[j]=true;}*/elsex++;if(x==k)return i;}}int main(){int i,j;__int64 PHI,base;get_prime();while(scanf("%I64d%I64d",&n,&k)!=EOF){if(n==1){printf("%I64d/n",k);continue;}PHI=eular(n);//cout<<PHI<<endl;base=(k-1)/PHI;k=(k-1)%PHI+1;//cout<<"base="<<base<<" k="<<k<<endl;cout<<n*base+get_rprime(n)<<endl;}return 0;}