动态规划，Dijkstra算法，A*算法的比较

动态规划，Dijkstra算法，A*算法的框架是相同的，不同点仅在于“推进点的选取”和“算法终止条件”。
一，动态规划：（参见http://blog.csdn.net/iwantnon/archive/2009/07/07/4329269.aspx ）
推进点选取：
（1），在粗犷的动态规划算法中：
根本不进行选择，而是对所有已存在节点全部推进一遍。这可能造成如下两点浪费：
[1]，重复推进：对某点v已经作了推进，而下一次在其valu值没有发生更改的情况下又一次对它进行推进，显然这第二次推进得不到任何新东西，所以是白费的。
[2]，推进失效：对某点v作了推进以后，又对点u作推进，而u恰好将点v的valu值刷新，于是当初对点v所作的推进失效（应该用点v的新valu值重新推进）。
（2），在带open标记的动态规划算法中：
对点v进行推进后将其关闭（令v.open=false），由于在选择推进点时只从处于开启状态的点中选，这样就避免了重复推进v点，除非v点valu值被刷新而再次变为开启(v.open=true)状态。即解决了”重复推进“问题，但并没有解决”推进失效“问题。
终止条件：
无论是在粗犷动态规划算法还是在带open标记的动态规划算法中，为了保证得到终点的最优值都必须“充分推进”--即推进|V|-1次。
二，Dijkstra算法：（参见：http://blog.csdn.net/iwantnon/archive/2009/07/07/4329316.aspx ）
推进点选取：
dijkstra 算法建立在带open标记的动态规划算法之上，但在选取推进点时只选取valu值已达终态的点v（称为"极元"）。由于v的valu值已达终态，所以它不可能再被其它点刷新，这样就避免了“推进失效”。那么，什么样的点可以作为“极元”呢？极元是否存在及如何构造，是要根据具体问题来分析的，例如：
（1），在"非负权值最短路径"问题中，dis最小的点v就可以取作"极元"，原因是由于所有权值非负，所以其它点推进后dis值会更加大于v的dis值，所以不可能将v刷新。
（2），再如“促销组合”问题中（注），可以状态坐标距st.loc欧氏距离（或曼哈顿距离）最小的状态点v为“极元”，原因是其它点推进后其距st.loc的欧氏距离（或曼哈顿距离）定会进一步增大，从而不可能刷新v点。
（3），再如在"最优排列问题"(例如”旅行商问题“和"工序问题")中，我们可以取已用过的物件集S中物件可个最少的状态点v作为"极元"，原因是其它所有状态点推进后物件集必将进一步扩大，从而不可能刷到v点。
由此可见，“极元”的构造往往依赖于推进过程中某个特征量的单调性。
终止条件： 由于dijkstra算法中极小元在每次推进后被关闭，并且由于其valu值已达终态，所以不会再被刷新，因此不会被再次开启。也就是说：dijkstra 算法中任何时刻open=false的点都是valu已达终态的点。所以一旦ed.open==false，则可终止程序。这个在某些情况下与动态规划中必须推进满|V|-1次相比要节约。

注：促销组合问题：
1),min型：有a,b,c三种商品，1a=3元，1b=2元，1c=4元。另提供下列组合：1a+1b=4元，1a+2b+1c=9元，1b+1c=5元。现要买8a+9b+9c，问最少花多少钱？
2),max型：有a,b,c三种商品，买1a给3个赠品，买1b给2个赠品，买1c给4个赠品。另提供下列组合：买1a+1b给8个赠品，买1a+2b+1c给13个赠品，买1b+1c给7个赠品。现要买8a+9b+9c，问最多可得赠品多少个？
三，A*算法：（参见：http://blog.csdn.net/iwantnon/archive/2009/07/07/4329286.aspx ）
推进点选取：
A*算法也是每次只推进一个点，但它是选取当前评价值（注1）最好的点。
由于评价值最好的点未必是极元，所以A*算法存在“推进失效”，不过只要推进的次数足够多（例如推进到所有节点都关闭），显然A*算法能得到最优解。
不过A*算法的目的是：较快地（推进次数较少）得到比较满意的结果。因此往往类似于dijkstra算法，推进到ed.open=false时就结程序（注2）。由于A*算法不能像dijkstra算法那样保证处于关闭状态的节点都已达终态，所以得到近似最优解。
注1：评价值=costed+willcost(或者wined+willwin)，其中costed(或wined)即为当前valu值，而willcost(或willwin)则需要估计来确定。
注2：如果是在所有节点都关闭时结束，则状态空间将包含所有状态，故空间复杂度与动态规划相同（因而高于dijkstra算法）。又由于存在“推进失效”，所以时间复杂度也比dijkstra算法高。
终止条件：
上面已提到，A*算法往往取ed.open=false时终止。

 

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