邮局问题的相关讨论

 我先简要说明一下题意：

    在一维坐标轴上，有n个村庄，要把选一个邮局建在某个村庄上。要满足一个要求：各个村庄到达这个邮局的距离之和的总和要最小。求邮局的最佳选址。

一：论证邮局问题的最优解是带权中位数：

先了解一些符号的意思：

D[I]—第I个点的权值 　　

DIST(I，J)—I到J点的距离，即DIST(I，J)=|NUM[I]-NUM[J]| 　　

由定义式易知：DIST(I，J)=DIST(I，J)

若最优点在T 　　

则有： 　　

∑{D[I]*DIST(I，T)}(I<>T) <= ∑{D[I]*DIST(I,T+1)}(I<>T+1)

//最优点的到点的距离之和明显不大于其他点的，当然T+1也不例外。

∑{D[L]}*DIST(L,T)}+∑{D[R]*DIST(R,T)}+D[T+1]*DIST(T+1,T) 　　<=∑{D[L]}*DIST(L,T+1)}+∑{D[R]*DIST(R,T+1)}+D[T]*DIST(T,T+1) (L<T&R>T+1) 

//所有点到可以分成三类：T左边的点为L类，T+1右边的点为R类，T或T+1点自成一类。

整理得：

∑{D[L]*DIST(L,T+1)}-∑{D[L]*DIST(L,T)}(L<T)+D[T]*(DIST(T,T+1))>=∑{D[R]*DIST(R,T)}-∑(D[R]*DIST(R,T+1))(R>T+1)+D[T+1]*(DIST(T,T+1))

//将于L相关的放在一边，与R相关的放在另一边。

∑{D[L]*(DIST(L,T)-DIST[L,T+1])}(L<=T)<=∑{D[R]*(DIST(R,T+1)-DIST(R,T))}(R>=T+1)

//这里要注意的是T和R的定义已经发生了变化，L<=T R>=T+1。定义的变化是为式子更加整洁。然后将上式子两边同乘以-1，并且把公因数提取出来。

因为

  DIST(L,T)-DIST(L,T+1)=DIST(T,T+1) 

  DIST(R,T+1)-DIST(R,T)=DIST(T+1,T)

      DIST(T,T+1)=DIST(T+1,T)

所以

∑{D[L]*DIST(T,T+1)*(-1)(L<=T)<=∑{D[R]*DIST(T+1,T)

*(-1)}(R>=T+1)

∑D[L](L<=T)>=∑(D[R])(R>=T+1) 　　

//两边消掉DIST(T,T+1)*(-1)

即：∑D[L](L<T)+D[T]>=∑(D[R])(R>T) 

而类似的，我们可以证明其右边的权值和加上D[T]后大于左边的权值和，只要将第一步改成：

∑{D[I]*DIST(I，T)}(I<>T) <= ∑{D[I]*DIST(I,T-1)}(I<>T-1)

其他的步骤类似。

因为左边的权值和数+D[T]>=右边的权值和，那么： 　　LEFTSUM+D[T]>=RIGHTSUM=SUMALL-(LEFTSUM+D[T]) 　　=>2*(LEFTSUM+D[T])>=SUMALL 　　=>2*RIGHTSUM<=SUMALL 

同理可得： 2*LEFTSUM<=SUMALL 

综上所述：

RIGHTSUM <= SUMALL/2

LEFTSUM<=SUMALL/2

很明显，我们假设的最优点既是带权中位数。

证毕。

二：求出n个元素的带权中位数：

思路：

SUM为1..n号元素的和。

    先假设带权中位数就是val[n/2]，通过遍历1..n/2-1求出他们的和leftSum，

同理n/2+1..n号元素的和为rightSum。

如果leftSum < SUM /2 且 rightSum < SUM / 2, 那么显然val[n/2]必然为带权中位数。

当 leftSum > SUM / 2，带权中位数必然在左边,因为如果在右边，那么leftSum依然大于SUM / 2，矛盾。

此时把权重rightSum加到val[n/2]的权重上，我们不必关心每个值的具体权重，因为对带权中位数而言，右边的val的权重的和只要不变，就对它毫无影响。而val[n/2]一定在带权中位数右边，所以可以把权重rightSum加到val[n/2]的权重上。

此时只要递归从1..n/2中找即可。

如果rightSum > SUM /2 且 leftSum < SUM / 2，道理是一样的。

复杂度分析：

计算SUM.  O(n)

递归找带权中位数： 

T(n) = O(n) + O(n/2) + O(n/4) + O(n/8)..O(n/2ⁱ) + T(n/2ⁱ⁺¹)

令n/2ⁱ⁺¹ = 1

所以T(n/2ⁱ⁺¹) = T(1)

所以T(n) = c * (n + n/2 + n/4 ...n/2ⁱ) + T(1) < 2 * cn + 1 = O(n)

综上所述

    O(n) + T(n) < O(n) * 2 = O(n)

伪代码就不写了，很容易百度出来。