几种常用的开平方方法

首先是最普通的CRT里自带的sqrt，只需要引用math.h就可以使用了：

#include <math.h>result = sqrt(number); 

 

接下来是传统的牛顿迭代法，我们计算开方的时候就是手工不断尝试每一位最合适的数字，然后一步步收敛求得更精确的答案。牛顿迭代法就是通过折半来快速收敛，每迭代一次就得到更精确的结果，下面这段程序采用的是迭代10次的牛顿迭代法：

float newtonSqrt(float a){ int i; float x; x=a; for(i=1;i<=10;i++) x=(x+a/x)/2; return x;} 

 

 

既然每次计算都需要那么多步骤，为什么不预先计算好之后储存，使用的时候再通过查表来取得结果呢？

首先是建立一个表，把计算好的结果都存放进去，我这里建立的是0到10，精确到百分位总共有1001个条目的表：

float *makeSqrtTable(){ int num; float *tbl = (float *)malloc(sizeof(float) * (1000 + 1)); for (num = 0; num <= 1000; num += 1) { tbl[num] = sqrt((float)num / 100); } return tbl;} 

不需要用表的时候可以把表释放掉：

free(tbl); 

然后是查表的函数，直接从对应的项目取出来就行了：

float tabelSqrt(float *tbl, float num){ return tbl[(int)(num * 100)];} 

 

最后，是出现在Quake3代码里的，顶级游戏引擎设计师约翰卡马克的开方方法，quake3-1.32b/code/game/q_math.c里可以找到实现：

//============================================================================#if !idppc/*** float q_rsqrt( float number )*/float Q_rsqrt( float number ){long i;float x2, y;const float threehalfs = 1.5F;x2 = number * 0.5F;y = number;i = * ( long * ) &y;// evil floating point bit level hackingi = 0x5f3759df - ( i >> 1 ); // what the f**k?y = * ( float * ) &i;y = y * ( threehalfs - ( x2 * y * y ) ); // 1st iteration//y = y * ( threehalfs - ( x2 * y * y ) ); // 2nd iteration, this can be removed#ifndef Q3_VM#ifdef __linux__assert( !isnan(y) ); // bk010122 - FPE?#endif#endifreturn y;} 

还有另一个版本的实现是：

 

float carmSqrt(float x) { union{ int intPart; float floatPart; } convertor; union{ int intPart; float floatPart; }convertor2; convertor.floatPart = x; convertor2.floatPart = x; convertor.intPart = 0x1FBCF800 + (convertor.intPart >> 1); convertor2.intPart = 0x5f3759df - (convertor2.intPart >> 1); return 0.5f * (convertor.floatPart + (x * convertor2.floatPart));} 

 

卡马克进行开方时也进行了迭代，但是只迭代了一次，因为通过那个奇怪的数字0x5f3759df就使得“只用迭代一次就取到比较满意的结果”。

测试几个数开方：

4

Sqrt:2.000000

NewtonSqrt:2.000000

TabelSqrt:2.000000

CarmSqrt:1.954374

10

Sqrt:3.162278

NewtonSqrt:3.162278

TabelSqrt:3.162278

CarmSqrt:3.235606

除了卡马克开方之外，其他的方法得到的结果都是一样的，也是更精确的，因为卡马克开方虽然快速逼近最终值，但是只迭代了一次。

 

接下来是评测一下速度，我们从0.00到10.00每次递增0.01共1001个数字进行开方，统计时间，在我这台机器得到的结果如下，单位是毫秒：

Sqrt:0:71

Carm:0:28

Newton:0:472

Tabel:0:52

可以看到，卡马克开方惊人的快，甚至差不多比查表要少一半的时间。

如果在精度要求允许的范围，用卡马克的方法是最好的,要更精确的结果，可以多迭代几次，这都没问题；如果要实现任意精度开方，可以用牛顿迭代法计算；如果需要精度和速度之间做平衡，同时不在乎占用的空间，可以使用查表法；当然，CRT里自带的sqrt就已经做得相当好了，一般使用没什么问题。