树的统计

来源：互联网发布：讲主角进入网络电影编辑：程序博客网时间：2024/06/05 01:11

原题：一颗含有n个结点的树，所有的结点依次编号为1,2,3,……,n.对于编号为v的结点，定义t(v)为v的后代中所有编号小于v的结点个数。输入这棵树，请输出t(1),t(2),t(3),……,t(n)。

当然，对于本题，写出一个O(n²)的算法是一件很容易的事，这显然也不是接下来要推出的理想算法。

先深度优先遍历该树，按照访问的先后顺序排列结点：7 10 14 12 13 1 9 11 6 5 8 3 15 12 4(DFS序列)。然后把每个结点的子结点先后顺序反转，重新遍历，可得到新的排序结点序列：7 4 3 12 15 9 6 8 5 11 1 10 14 13 2(逆DFS序列)。以结点9为代表，显然，把两次遍历过程中在结点9之后被访问的点圈出来，得到下图。

不难发现，两个线框的重叠区域，即为结点9的所有后代结点。看到上面的图，估计有组合数学知识的人都能想到容斥原理。上图中除了线框1和2包括的部分，还包括了结点9本身和它的直系祖先结点。

定义f(v,S)表示在S所描述的集合中，结点编号小于v的个数。则对于9号结点，有：
f(9,线框1)+f(9,线框2)+f(9,9的直系祖先)-f(9,整棵树)=f(9,9的后代)

推广到更一般的情况，有

f(v,DFS序列中v之后的部分)+f(v,逆DFS序列中v之后的部分)+f(v,v的直系祖先)-f(v,整棵树)=f(v,v的后代)

显然，我们有f(v,整棵树)=v-1，而f(v,v的后代)就是我们的目标函数t(v)，从而有：

t(v)=f(v,DFS序列中v之后的部分)+f(v,逆DFS序列中v之后的部分)+f(v,v的直系祖先)-(v-1)

求区间内小于或大于某个数的个数，我们可以通过线段树来解决，从而，可以在一次DFS遍历中(O(n))加上动态的线段树的操作(O(logn))，就能以O(nlogn)的时间复杂度和O(n)的空间复杂度求出所有结点的直系祖先中有多少个比它本身小；对DFS序列和逆DFS序列，可以用线段树求出每个元素后面有多少个比它本身小，时间复杂度也为O(nlogn)，从而整个算法的时间复杂度为O(nlogn)。

照着算法随手写了个，c++代码实现如下：

#include<iostream>#include<cstdlib>#include<cstdio>#include<vector>using namespace std;typedef std::vector<unsigned int> UVEC;const unsigned int MaxNode = 10000;const unsigned int MaxDegree = 100;class SegTree{ struct stSegNode { int iStart, iEnd; unsigned int uiSum; };public: SegTree(unsigned int uiCount) :m_uiCount(uiCount) { Make(1, 1, m_uiCount); } ~SegTree() { } void Reset() { Make(1, 1, m_uiCount); } void Insert(unsigned int uiNode, int iPos = 1) { m_oSegNodes[iPos].uiSum++; if(m_oSegNodes[iPos].iStart == m_oSegNodes[iPos].iEnd) { return; } int iMid = (m_oSegNodes[iPos].iStart + m_oSegNodes[iPos].iEnd) >> 1; if(uiNode <= iMid) { Insert(uiNode, iPos * 2); } else { Insert(uiNode, iPos * 2 + 1); } } void Delete(unsigned int uiNode, int iPos = 1) { m_oSegNodes[iPos].uiSum--; if(m_oSegNodes[iPos].iStart == m_oSegNodes[iPos].iEnd) { return; } int iMid = (m_oSegNodes[iPos].iStart + m_oSegNodes[iPos].iEnd) >> 1; if(uiNode <= iMid) { Delete(uiNode, iPos * 2); } else { Delete(uiNode, iPos * 2 + 1); } } unsigned int Count(unsigned int uiNode, int iPos = 1)const { if(m_oSegNodes[iPos].iEnd == uiNode) { return m_oSegNodes[iPos].uiSum; } int iMid = (m_oSegNodes[iPos].iStart + m_oSegNodes[iPos].iEnd) >> 1; if(uiNode <= iMid) { return Count(uiNode, iPos * 2); } else { return Count(iMid, iPos * 2) + Count(uiNode, iPos * 2 + 1); } }private: void Make(int iPos, int iStart, int iEnd) { m_oSegNodes[iPos].iStart = iStart; m_oSegNodes[iPos].iEnd = iEnd; m_oSegNodes[iPos].uiSum = 0; if(iStart >= iEnd) { return; } int iMid = (iStart + iEnd) >> 1; Make(iPos * 2, iStart, iMid); Make(iPos * 2 + 1, iMid + 1, iEnd); }private: unsigned int m_uiCount; stSegNode m_oSegNodes[MaxNode * 2 + 1];};unsigned int uiCount, uiRoot;//结点个数、根结点UVEC Edge[MaxNode + 1];//边bool bVisited[MaxNode + 1];//访问标志unsigned int uiDFSIndex, uiRDFSIndex;unsigned int uiDFSList[MaxNode + 1], uiRDFSList[MaxNode + 1];//DFS和逆DFS序列unsigned int uiResult[MaxNode + 1];//结果（目标函数t(v)）SegTree * g_pSegTree;void DFS(unsigned int uiNode){ uiDFSList[++uiDFSIndex] = uiNode; for(UVEC::const_iterator it = Edge[uiNode].begin(); it != Edge[uiNode].end(); ++it) { DFS(*it); }}void RDFS(unsigned int uiNode){ uiRDFSList[++uiRDFSIndex] = uiNode; for(UVEC::reverse_iterator it = Edge[uiNode].rbegin(); it != Edge[uiNode].rend(); ++it) { RDFS(*it); }}void PDFS(unsigned int uiNode){ uiResult[uiNode] += g_pSegTree->Count(uiNode); g_pSegTree->Insert(uiNode); for(UVEC::const_iterator it = Edge[uiNode].begin(); it != Edge[uiNode].end(); ++it) { PDFS(*it); } g_pSegTree->Delete(uiNode);}void Init(){ scanf("%u", &uiCount);//处理输入 unsigned int uiParent, uiChild; for(int i = 1; i < uiCount; ++i)//n个结点的树有n-1条边 { scanf("%u%u", &uiParent, &uiChild); Edge[uiParent].push_back(uiChild); bVisited[uiChild] = true; } for(int i = 1; i <= uiCount; ++i)//找根结点 { if(!bVisited[i]) { uiRoot = i; break; } } g_pSegTree = new SegTree(uiCount);}int main(){ Init(); DFS(uiRoot); RDFS(uiRoot); for(int i = uiCount; i > 0; --i) { uiResult[uiDFSList[i]] += g_pSegTree->Count(uiDFSList[i]); g_pSegTree->Insert(uiDFSList[i]); } g_pSegTree->Reset(); for(int i = uiCount; i > 0; --i) { uiResult[uiRDFSList[i]] += g_pSegTree->Count(uiRDFSList[i]); g_pSegTree->Insert(uiRDFSList[i]); } g_pSegTree->Reset(); PDFS(uiRoot); for(int i = 1; i <= uiCount; ++i) { uiResult[i] -= i - 1; } for(int i = 1; i <= uiCount; ++i) { printf("%d: %u/n", i, uiResult[i]); } return 0;}

输入:

输出：

总结：

这个算法最巧妙的地方是把树对应到了两个序列：DFS序列和逆DFS序列。我们知道，树的数据关系要比线性序列复杂。本来在树中，某个结点和它的后代之间存在具有层次性的拓扑关系；通过变换成序列后，这个关系简化成了一个线性序列中的先后关系。而正是这个简单的先后关系，使我们能够用线段树(或者树状数组)来解决问题。

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