基本三角公式的推导
来源：互联网 发布：杭州淘宝基地 编辑：程序博客网 时间：2024/05/16 18:32
![（1） sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ；（2） cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ；教材的思路是在直角坐标系的单位圆中，根据两点间的距离公式推导：cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ； 再用诱导公式证明： sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ；如图所示：∠AOD=α，∠BOD=-β，∠AOC=β，∠DOC=β+α。则B（cosβ，-sinβ）；D（1，0）；A（cosα，sinα）；C[cos（α+β），sin（α+β）]。∵ OA=OB=OC=OD=1∴ CD=AB。∵ CD2=[cos（α+β）-1] 2+[ sin（α+β）-0] 2； =cos2（α+β）- 2cos（α+β）+1 + sin2（α+β）； =2-2 cos（α+β）。 AB2=（cosα-cosβ）2+ （sinα+sinβ）2； =cos2α-2cosαcosβ+cos2β+sin2α+2sinαsinβ+ sin2β； =2-2[cosαcosβ- sinαsinβ]。∴ 2-2 cos（α+β）=2-2[cosαcosβ- sinαsinβ]。∴ cos（α+β）=cosαcosβ- sinαsinβ ∴ sin（α+β）= cos（90°-α-β） =cos[（90°-α）+（-β）] =cos（90°-α）cos（-β）- sin（90°-α）sin（-β） =sinαcosβ+cosαsinβ；](http://pic.wenwen.soso.com/p/20090513/20090513193239-1238635617.jpg)
因为CD=AB,
CD={cos (a+p)-1}^2+{sin(a+p)-0}^2
=2-2*cos (a+p)
AB={cosa-cosp}^2+{sina+sinp}^2
=2-2*{ cosa*cosp-sina*sinp}
所以有cos (a+p)= cosa*cosp-sina*sinp,
这里采用诱导公式：
sin (a+p)= cos {pi/2- (a+p)}
= cos {{pi/2-a} -p }
= cos{pi/2-a}*cos(-p)-sin{pi/2-a}*sin(-p)
= sina*cosp+cosa*sinp
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