ACM典例分析之工作分配问题

 ACM中的工作分配问题是一个典型的回溯问题，利用回溯思想能很准确地得到问题的解。下面就这个问题好好分析下。

问题描述：
    设有n件工作分配给n个人。为第i个人分配工作j所需的费用为c[i][j] 。试设计一个算法，计算最佳工作分配方案，为每一个人都分配1 件不同的工作，并使总费用达到最小。

解题思路：
    由于每个人都必须分配到工作，在这里可以建一个二维数组c[i][j]，用以表示i号工人完成j号工作所需的费用。给定一个循环，从第1个工人开始循环分配工作，直到所有工人都分配到。为第i个工人分配工作时，再循环检查每个工作是否已被分配，没有则分配给i号工人，否则检查下一个工作。可以用一个一维数组x[j]来表示第j 号工作是否被分配，未分配则x[j]=0，否则x[j]=1。利用回溯思想，在工人循环结束后回到上一工人，取消此次分配的工作，而去分配下一工作直到可以分配为止。这样，一直回溯到第1个工人后，就能得到所有的可行解。在检查工作分配时，其实就是判断取得可行解时的二维数组的一下标都不相同，二下标同样不相同。

样例分析：
    给定3件工作，i号工人完成j号工作的费用如下：
10 2 3
2 3 4
3 4 5

    假定一个变量count表示工作费用总和，初始为0，变量i表示第i号工人，初始为1。n表示总的工作量，这里是取3。c[i][j]表示i号工人完成j号工作的费用，x[j]表示j号工作是否被分配。算法如下：

void work(int i,int count){ if(i>n) return ; for(int j=1;j<=n;j++) if(x[j] == 0){ x[j] = 1; work(i+1,count+c[i][j]); x[j] = 0; } }

 

那么在这里，用回溯法的思想就是，首先分配的工作是：
10:c[1][1]  3:c[2][2]  5:c[3][3]  count=18;
   
    此时，所有工人分配结束，然后回溯到第2个工人重新分配：
10:c[1][1]  4:c[2][3]  4:c[3][2]  count=18;

    第2个工人已经回溯到n，再回溯到第1个工人重新分配：
2:c[1][2]  2:c[2][1]  5:c[3][3]  count=9;

    回溯到第2个工人，重新分配：
2:c[1][2]  4:c[2][3]  3:c[3][1]  count=9;

    再次回溯到第1个工人，重新分配：
3:c[1][3]  2:c[2][1]  4:c[3][2]  count=9;

    回溯到第2个工人，重新分配：
3:c[1][3]  3:c[2][2]  3:c[3][1]  count=9;

    这样，就得到了所有的可行解。而我们是要得到最少的费用，即可行解中和最小的一个，故需要再定义一个全局变量cost表示最终的总费用，初始cost为c[i][i]之和，即对角线费用相加。在所有工人分配完工作时，比较count与cost的大小，如果count小于cost,证明在回溯时找到了一个最优解，此时就把count赋给cost。
    到这里，整个算法差不多也快结束了，已经能得到最终结果了。但考虑到算法的复杂度，这里还有一个剪枝优化的工作可以做。就是在每次计算局部费用变量count的值时，如果判断count已经大于cost，就没必要再往下分配了，因为这时得到的解必然不是最优解。

#include<iostream>using namespace std;int n,cost=0;int x[100],c[100][100];void work(int i,int count){ if(i>n && count<cost){ cost = count; return ; } if(count<cost) for(int j=1;j<=n;j++) if(x[j] == 0){ x[j] = 1; work(i+1,count+c[i][j]); x[j] = 0; }}int main(){ cin>>n; for(int i=1;i<=n;i++){ for(int j=1;j<=n;j++){ cin>>c[i][j]; x[j] = 0; } cost+=c[i][i]; } work(1,0); cout<<cost<<endl; system("pause"); return 0;}