Raney引理
来源:互联网 发布:韩版iphone网络制式 编辑:程序博客网 时间:2024/06/03 17:18
Raney引理:
设整数序列A={Ai,i=1,2,...,N},且部分和为Sk=A1+,...,+Ak,序列中的所有的数字之和为Sn=1;
则在A的N个循环表示中,有且仅有一个序列B,满足B的任意部分和Si均大于零。
证明:
由于Sn=1,则Sk+Sn=Sk+1,存在这样一个数x,当在x和x+1之间的某点过后,其后所有的点都在0以上。
用几何图形来说明就是,用两条线夹住Si的曲线,在每连续N个单位的长度中,直线与函数图像有且仅有一个交点。因为斜率为1/N,所以,直线在N个连续长度中,最多只能到达一次整数点。这个交点是在这以后的N个点中,最低的。同时N个单位长度仅有一个交点也证明了该解的唯一性。
关于Raney的另一条引理:任何一种循环表示都和自身不同。如果相同,根据循环串的性质,必定可以分成d>1个相同的部分,设部分和为s,则s*d=1,不能保证s为整数。
有这样一道题目:
序列
一个序列{Ai,i=0,1,2,....,3n},由 3n+1项组成,每一项是1或-2。定义部分和Sk=A0+A1+...+Ak,求所有满足S3n=1,而且对k=0,1,...3n,Sk>0,的序列的个数。
由题意,总共有Cn3n+1种不同的序列,而由于每个序列有3n+1种不同的循环序列,但只有一种的部分和都大于0.所以,总共有Cn3n+1/(3n+1)种满足题目要求的序列。
该问题需要使用到大数乘法和大数除法,程序编码如下
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