用循环不变式证明BINOMIAL-HEAP-UNION(H1, H2)的正确性

初始化：x指向Head[H]，Head[H]是对两个二项堆的根表合并后的数据结构的第一个结点（合并时根表的度数是按照单调递增排列的），并且Head[H]不为NIL，next-x指向x的兄弟结点。x指向的结点左侧（包括结点本身）所构成的数据结构是二项堆，因为此时该堆只有一个以Head[H]为根结点的二项树。

 

保持：需要分成四种情况讨论。

首先，循环的目的是要把x沿着根表向链表的尾端推进，并且在循环过程中保持x结点左边的数据结构（包括x结点，以及以x结点为根的二项树）是二项堆。

 

情况1）：degree[x] ≠ degree[next-x]

这种情况最简单，因为根表本身是按照度数单调递增排列的，因此degree[next-x]>degree[x]，把x的指针向右推进一个兄弟结点，显然可以保证：

x结点左边的数据结构（包括x结点，以及以x结点为根的二项树）是二项堆。

 

情况2）：sibling[next-x] ≠ NIL and degree[sibling[next-x]] = degree[x]

这种情况意味着，x，x的兄弟结点和x的兄弟的兄弟结点的度数相同（最多有3个相邻的结点度数相同，否则合并前就不是二项堆了）

这时，将x的指针向右推进一个兄弟结点，会破坏x结点左边的数据结构（包括x结点，以及以x结点为根的二项树）是二项堆的性质，但因为这种情况下不会退出循环，实际这样做会把问题转换到情况3）或4）。

 

情况3）：当x和x的兄弟的度数相等，但和x的兄弟的兄弟的度数不同，并且key[x] ≤ key[next-x]时

因为度数相同，因此要对这两个二项树进行连接。把x的兄弟结点为根的二项树与x结点为根的二项树进行连接，保证x是连接后的总体二项树的根（用x做根，保证最小堆）。

这时，x结点左边的数据结构（包括x结点，以及以x结点为根的二项树）是二项堆。

 

情况4）：当x和x的兄弟的度数相等，但和x的兄弟的兄弟的度数不同，并且key[x] > key[next-x]时

如果x的上一个结点是NIL，意味着x是指向的head[H]，这时需要把head[H]改一下，让它指向x的兄弟结点。如果x的上一个结点不是NIL，那么需要修改prev-x的指针指向x的兄弟结点（因为x结点代表的子树需要被连接）。

然后对x为根和x的兄弟为根的二项树进行连接，这次连接后的根是x的兄弟结点（为保证最小堆性质）。最后，将x指向x的兄弟结点。

此时，x结点左边的数据结构（包括x结点，以及以x结点为根的二项树）是二项堆。

 

终止：当循环结束时，x的兄弟结点为NIL，x已经指向根表的尾端。意味着x结点左边的数据结构（包括x结点，以及以x结点为根的二项树）已经包括了合并堆的所有结点。并且，该数据结构就是一个二项堆。所以，合并算法是正确的。