线段树的建立

 

线段树的建立和维护

 

BY 竹子的叶子

 

一、线段树的定义

 

经常遇到一些与区间有关的题目，这类题目用通常的方法很麻烦，但是有一种特殊的数据结构——线段树（LineTree，不要说什么ST，我就喜欢叫他LineTree，怎么地？怎么地？）可以很好地解决有关区间上的问题。

线段树是一棵二叉树，记为T(a,b)，参数a，b表示区间[a，b]，其中，b-a为区间的长度，记为L。

其根为：[a,b]

其左儿子为：[a,(a+b)div 2]

其右儿子为：[(a+b)div 2,b]

若L=1，则为叶子节点。

 

除此之外，每个区间上还有一个专门记录覆盖次数的变量count，以及其他根据题目而变得其他计数变量。

线段树的定义如下：

type LineTree = ^Node;

     Node = record

       i,j,count:longint; //i,j表示区间[i,j]，count表示计数

       lchild,rchile:LineTree;

     end;

 

二、线段树的维护

与堆一样，线段树也是动态数据结构，需要维护。维护无非就是建立、查找，当然，线段树中还需要有覆盖的过程；

 

1、线段树的建立

建立方法很简单，和二叉树的建立方法基本相同。

 

Procedure LineTreeCreate(Var Root:LineTree;a,b:longint); //建立一个线段树T(a,b)

Var lc,rc:LineTree

Begin

 New(root);

 Root^.i:=a; root^.j:=b; root^.count:=0;

 If b-a=1 then //递归的结束，即到达叶子节点

 Begin

    root^.lchild:=nil; root^.rchild:=nil;

 End

 Else begin

    LineTreeCreate(lc,a,(a+b)div 2); //建立左儿子线段树

    LineTreeCreate(rc,(a+b)div 2,b); //建立右儿子线段树

    Root^.lchild:=lc;

    Root^.rchild:=rc;

 End;

End;

 

于是，一个线段树就建立完毕了，空间复杂度约为2L

 

2、线段树的查找

查找方法很简单，就是找到一个区间然后返回他的count，问题是如果在一棵[1..10]的树中，查找[2..5]像这样没有确切与之对应的线段怎么办？

分解之，然后查找它们对应分解出来的。譬如[2..5]=[2..3]+[3..5]。事实上，最后的结果是[2..3]和[3..5]两个count的最小值（想想为什么？）

那么代码如下（接下来都是伪代码，模仿数据结构的）：

 

FUNC. Find(root:LintTree; a,b:Int):Int;

VAR mid:Int;

【

 Mid = (root.a+root.b) div 2;

 if (root.a = a) and (root.b = b) then return(root.count)

 else 【

    if (a>root.b) or (b<root.a) then return(0)

    else if a>=mid then return(find(root.rc,a,b))

    else if b<=mid then return(find(root.lc,a,b))

    else return(min(find(root.lc,a,mid),find(root.rc,mid,b)));

】

】

 

3、线段数的插入

所谓的插入，就是指给一线段，然后“覆盖”在线段树上，我们的count域就是用来统计这个的。插入其实很简单，但如果考虑不周全就会出现这么一个问题：

insert(1,6); insert(6,7);

find(1,7)=？？

很显然，如果我们不对他进行一点特殊的维护，线段树就会出错。仔细考虑之后，我们发现，其实每个父亲节点的Count的值很显然都是他两个儿子的Count的最小值（想想为什么？），并且一定是。

那么我们就有办法了，先写一个维护操作：

 

PROC. Update(root:LineTree);

【

 if (root.lc ≠ NIL) and (root.rc ≠ NIL) then

 【

    root.count = min(root.lc.Count,root.rc.count);

】

】

 

然后我们就可以开始插入了。

 

PROC. Insert(root:LineTree; a,b:Int);

VAR mid:Int;

【

 Mid = (root.a+root.b) div 2;

 if (a<=root.a) and (b>=root.b) then

 【

    root.count = root.count + 1;

    insert(root.lc,a,b);

    insert(root.rc,a,b); //如果覆盖了当前，那么他的儿子们也一定被覆盖

】

else 【

 if a>=mid then insert(root.rc,a,b)

 else if b<=mid then insert(root.lc,a,b)

 else 【

    insert(root.lc,a,b);

    insert(root.rc,a,b);

】

update(root);

】

】

 

4、线段树的删除

 

其实线段树的删除用的很少，但是有时有他确实不可缺少的。和一般的二叉树以及BST相比，线段数的删除有一个特殊的要求——被删除的部分，必须已经被插入（覆盖）过。

也就是说，如果你要remove(3,8)那么前提是insert(3,8)或者insert(2,8)、insert(3,9)等等，可是如何判断呢？先查找要删除的部分，如果返回值也就是要被删除的部分的Count>=1就可以删除了。

 

PROC remove(root:LineTree; a,b:Int);

VAR Mid:Int;

【

 Mid = (root.a+root.b) div 2; //其实这个Mid我一直想用他儿子或者直接放在他本身，免得每次都算

 if find(a,b) >= 1 then

 【

    if (root.a = a) and (root.b = b) then root.count = root.count – 1

    else 【

      if a>=mid then remove(root.rc,a,b)

      else if b<=mid then remove(root.lc,a,b)

      else 【

        remove(root.lc,a,mid);

        remove(root.rc,mid,b);

】

update(root);

】

】

】

 

5、线段树的其他操作

其实线段树是一种很灵活的数据结构，在她的内部我们可以添加很多有用的统计元素，譬如比较常用的用来计算当前节点中有多少段不同“颜色”（或者其他标记）的线段，最后一次被覆盖是什么状态？起始点和末尾点有什么状态？有哪些计数？这些都可以加入进去，但最最重要的是，线段树中要记得——区间的合并，就拿插入来说，insert(1,4)和insert(4,10)就相当于insert(1,10)，但是如果不更新，不考虑到线段区间的合并，那么查询[1..10]的时候，就会出错。

 

通常情况下，区间的合并主要考虑当前节点儿子们的状态，他相邻的节点的状态（起始点和末尾点的状态）等等。只需要想到定义，就不会写错。