[图论] 平面图 平面性的判定

 

可以用

定理(非平面图判定)(库拉托夫斯基)：一线图为非平面图的充要条件是他包含同胚于K5或K3,3的子图。

来判定，但较复杂。

 

下面介绍不可分线图平面性的判定

 

基础

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1 桥

　　线图G中选择一回路C，则C将G分为3个部分

用边集表示为3种：

I   回路上顶点在回路内连接的边

II  回路内的顶点与回路上的顶点连接的边

III 回路外的边和回路外的点与回路上的顶点连接的边

 

G中子图H的桥：H是G的子图(不一定是回路)，若G - E(H) 能表示为若干个I、II、III类边集的直和，则这些I、II、III类边集为桥。

 

任一桥是连通的；它的任二顶点都有和子图H内部不相交的一条通路相连；除去H上的顶点外，H的任二桥都没有公共顶点。

 

H的附着点：桥Bh(i)和子图H的公共顶点称为Bh(i)对于H的附着顶点。

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2 非平面图的判定

G可容纳的：平面图G有 子图的平面嵌入⊆ 图G的平面嵌入

G不可容纳的：若不存在这样的关系。

 

可画入：G某子图H的桥B，若他对H的全部附着点都在H嵌入图中的某个面f的周界上，则B是可画入的。F(B,H~)表示桥B在其中可画入的H~的面的集合。

不可画入：不都在某一个面的周界上，则是不可画入的。

 

定理：若H的平面嵌入图是G可容纳的，则对H的每一桥B有，F(B,H~)非空。(也是G是平面图的一个必要条件，可用于非平面判定)

3 平面性算法

算法：

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有5步组成

1　在G中选一回路G1，并求出G1的一个平面嵌入G1~，置 i = 1

2　若E(G)- E(Gi) = 空，则停止。于是Gi~是G的一个平面嵌入，G是平面图。

　　否则，确定G中Gi中的所有的桥，并对每一座桥B求出它的可画入的面的集合F(B,Gi~)

3　若有一座桥B，使得F(B,Gi~)=空，则停止。根据定理判定为非平面图。

　　若有一座桥B，使得|F(B,Gi~)|=1，则取{f}=F(B,Gi~)；

　　否则，从F(B,Gi~)中任选一个面作为f。

4　在桥B中选一条连接Gi上两个附着顶点的通路Pi，Pi⊆B，置Gi+1=Gi∪Pi，由Pi在Gi~的面f内的一个画法得到Gi+1的一个平面嵌入Gi+1。

5　换i为i+1，转2

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