列空间与零空间
来源:互联网 发布:俯卧撑支架 知乎 编辑:程序博客网 时间:2024/05/17 07:44
列空间与零空间
还是以经典例子做说明:
|1 1 2 |
|2 1 3 |
|3 1 4 |
|4 1 5 |
*
| x1|
| x2|
| x2|
如果它们的乘积为b,那现在考虑这样两种情况,b的值的可能范围和当b的值为零的时候x1,x2,x3需要满足的关系。
b的值的可能范围就是现在我们要讨论的列空间,即列的线性组合。按照前面的知识有:
|1 |
|2 |
|3 |
|4 |
*x1
+
|1 |
|1 |
|1 |
|1 |
*x2
+
|2 |
|3 |
|4 |
|5 |
*x3
这里的列空间是封闭的。
其中的x1,y1,z1的值为任意的,但其中要特别注意列是否是线性相关的,如果是那其中的线性组合的一般表达式还不够一般,需要寻找更加精练的表达式。
这里先考虑下零空间,x1,x2,x3需要满足的关系。要特别注意,不是一定存在零空间的(如果是线性无关的matrix),不过这里是线性相关的matrix的,仔细观察可以看出第三列等于第一列和第二列的和,所以能够确定x1,x2,x3需要满足的关系如下:
| 1|
| 1|
| -1|
*C
这里的零空间是封闭的。
目前考虑如果b是前面所表达的列的线性组合的列空间内的一个特定的值,比如b等于
|1 |
|2 |
|3 |
|4 |
由查看可以知道它等于第一列的值,所以通过向量乘积可以发现x1,x2,x3的一个特定值为:
| 1|
| 0|
| 0|
,但这里它的值不是单个的,还需要加上前面的零空间才是一般的解,这个可以想象到。
所以x1,x2,x3的一般值为
| 1|
| 0|
| 0|
+
| 1|
| 1|
| -1|
*C
其中还需要注意,这个解是非封闭的,因为不管c取什么值,这个一般值也不经过
| 0|
| 0|
| 0|
.对于一个子空间而言,因为必须保证它乘以任意常数,哪怕是0,也应该是在这个空间内。
但它不包含
| 0|
| 0|
| 0|
所以不是封闭的。
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