向量空间 列空间 零空间

向量空间：需要穿过原点

空间表示有好多向量，空间必须满足一定的规则，能进行加法和数乘运算。对数乘和加法两种运算是封闭的。

向量的运算有加、数乘。

R²：二维向量（实向量）

R³：所有三维实向量组成的向量空间

Rⁿ：包含所有的n维向量，分量均为实数

子空间：

取一部分仍然满足对数乘和加法两种运算封闭。

例如：一条R²内过原点的直线。必须包含0向量。

或者R²只包含0向量的空间。

或者R³只包含0向量的空间或者过原点的平面或者过原点的直线或者它本身。

 

若A是4*3维矩阵，X是3维列向量，b是4维列向量。

矩阵的列空间：

在此列空间是R⁴子空间

引出AX = b：

怎样的b能让此方程组有解？b=0总有解。当且仅当b是各列的线性组合时，AX = b才有解（当且仅当b属于A的列空间）。

矩阵的零空间：null space

在此零空间是R³子空间，要叫空间必须满足数乘和加法运算。

零空间必然包含0向量，零空间是向量空间

A的零空间包含什么？包含AX = 0中的解。最后可以证明矩阵的零空间是向量空间。

 

而AX = b（b不为0），它的解X不能构成向量空间。

首先它肯定不包含零向量，所以肯定不是向量空间。

 

构造向量空间的方法：

对几个向量进行线性组合得到子空间；也可以从一个方程组中通过让X满足特定条件来得到子空间。