树状数组

树状数组是一种非常优雅的数据结构.
当要频繁的对数组元素进行修改,同时又要频繁的查询数组内任一区间元素之和的时候,可以考虑使用树状数组.
 
最直接的算法可以在O(1)时间内完成一次修改,但是需要O(n)时间来进行一次查询.
而树状数组的修改和查询均可在O(log(n))的时间内完成.
 
假设a[1...N]为原数组,定义c[1...N]为对应的树状数组:
c[i] = a[i - 2^k + 1] + a[i - 2^k + 2] + ... + a[i]
其中k为i的二进制表示末尾0的个数,所以2^k即为i的二进制表示的最后一个1的权值.
所以2^k可以表示为n&(n^(n-1))或更简单的n&(-n): 
对a[n]进行修改后,需要相应的修改c数组中的p1, p2, p3...等一系列元素
所以修改原数组中的第n个元素可以实现为:
void Modify(int n, int delta)
{
    while(n <= N)
    { 
c[n] += delta; 
n += lowbit(n);
    }
}
 
当要查询a[1],a[2]...a[n]的元素之和时,需要累加c数组中的q1, q2, q3...等一系列元素
所以计算a[1] + a[2] + .. a[n]可以实现为:
int Sum(int n)
{
     int result = 0;
     while(n != 0)
     { result += c[n]; n -= lowbit(n); }
    return result;
}

树状数组可以扩充到二维。在二维情况下:

C[x][y] = ∑ a[i][j], 其中，
x-lowbit(x) + 1 <= i <= x,
y-lowbit(y) + 1 <= j <= y.

在二维情况下，对应的更新和查询函数为：
void Modify(int x, int y, int delta)
{
    for(int i = x; i <= N; i += lowbit(i))
       for(int j = y; j <= N; j += lowbit(i))
          C[x][y] += delta;
}

int Sum(int i, int j)
{
    int result = 0;
    for(int x = i; x > 0; x -= lowerbit(x))
    {
        for(int y = j; y > 0; y -= lowerbit(y))
        {
            result += C[x][y];
        }
    }
    return result;
}

树状数组可以解决更新线段区间，查询某个点的问题。
在这种情况下，更新线段区间和查询点的时间复杂度仍然为O(logn).

设A[1,N]为我们要处理的数组。
另外设置一个数组B[1,N]，使得B[1] + B[2] + .. B[i] = A[i], 其中1 <= i <= N.
即B[i] = A[i] - A[i-1]

当要查询A[i]的时候，我们只需在数组B上使用一般的树状数组操作查询区间[1,i]即可
当我们要给区间A[a~b]加上delta时，只需要在数组B上对B[a]进行一般树状数组的更新delta的操作，同时对数组B上对B[b+1]进行 - delta操作。

这种使用方式同样可以扩展到二维。
二维情况下，
B[i][j] = A[i][j] - A[i-1][j] - A[i][j-1]
当要查询A[i][j]的时候，只需在数组B上查询B[0][0]到B[i][j]的和即可。
当要给矩形A[x1][y1],A[x2][y2]加上delta的时候，只需要在数组B上对B[x1][y1], [x2+1][y2+1]进行一般树状数组的更新delta的操作，同时对B[x1][y2+1], B[x2+1][y1]

进行一般树状数组的更新-delta的操作即可。
通过上面的讨论可以看出。树状数组支持对点的更新，对区间和点的查询。
通过稍微改变，可以支持对区间的更新，对点的查询。但是不支持对区间的查询(偶没想出来)。

通过使用线段树，可以支持所有这些操作，包括对区间的更新和对区间的查询。
但是线段树的实现更为复杂，所以能用树状数组解决的问题不需要用线段树。