概率算法理论1：随机数的产生

概率算法中常常会用到随机数。一个好的随机数应该是随机，均匀，独立的。但是计算机受限于字长，计算速度以及算法本身的确定性，无法产生真正意义上的随机数。但是可以利用数学公式产生出符合概率统计特征的伪随机数。

历史上也有很多产生伪随机数的算法。下面介绍一些。

1 最早的称为平方取中法。方法是对一个n位二进制数求平方，然后对平方数取中间的n位，一直这样步进。后来因为这个数列均匀性并不太好，存在小数字偏倚的特点。有人提出了乘积取中法，就是不是对上一个元素做平方，而是上一个元素乘以上上一个元素取中。这些算法的实现比较简单，缺点是随机性依赖于初始值，数列周期比较短。

2 后来出现了针对二进制计算机特点的移位法。具体操作是，对一个元素x0，左移7位得到x01，右移7位得到x02，x01和x02进行指令相加得到x1，一直这样步进。这种算法缺点同样是随机性依赖初始值（不能设置的太小），随机周期比较短。

3 现在计算机中普遍应用的技术是同余法。基本的递推关系为Ij+1 =Ij * a+c  (mod m)，若c不等于0，a不等于1称为混合同余法（c等于0：乘同余法，a=1：加同余法，很直观），这种方法应用的比较多。这个数列的周期也很大的依赖于a和c参数的选取。引入一个结论：

混合同余数列达到周期为M的充要条件：1)c和M互素 2)对于M的每一个素因子p，a-1为p的整数倍 3)若M为4的倍数，那么a-1为4的倍数。

由上述结论可知：混合同余数列达到最大周期的条件为：在2进制的计算机上，若M=2^s，取a=4*q+1，c=2*p-1；其中q和p取任意正整数。很容易理解。常用的伪随机数发生器采用的同余数列是：Ij+1= ( 25173 * Ij + 13849 ) % 65536，产生16位的随机数（short型）的。