概率/随机数算法

0-1等概率问题

问题描述

• 一个随机数产生器以概率P生成0，以概率(1-P)生成1，怎样生成等概率的0和1？

主要思路

• 如果用这个产生器产生两个位，出现00的概率为P^2，出现01的概率为P(1-P)，出现10的概率为P(1-P)，而出现11的概率为(1-P)^2。故而可以用10表示1,01表示0，从而保证生成0和1的概率是相同的。

代码实现

int generate01(int (*func)()) {    if (func == NULL)        return -1;    int num1 = -1;    int num2 = -1;    int ret = -1;    while(num1 != num2){        num1 = func();        num2 = func();        if (num1 == 1 && num2 == 0) {            ret = 1;            break;        } else if (num1 == 0 && num2 == 1) {            ret = 0;            break;        }    }        return ret;}

0-1问题扩展

• 利用这个随机数生成器，等概率的生成1,2,……,n

主要思路

• 利用上面实现的等概率生成0-1的生成器，等概率的生成k为二进制的bit，而其表示的整数值X在0~n-1的范围时，输出X+1，否则重复产生。

代码实现

int generateRandomNum(int max) {    if (max < 1) {        return -1;    }    int bit_num = 0, i = 0;    int result = 0;        while((0x01 << bit_num) < max)         ++bit_num;    //while(result > n) {        while(bit_num > i) {            if (generate01())                result |= 0x01 <<bit_num; //result |= 0x01<<i            i++;        }        i = 0;   // }    return result;}

不重复随机数的产生

问题描述

• 随机产生0~n-1中的k个不重复的随机数。

主要思路

• 借用蓄水池算法。先定义一个1~n-1的数组，然后从中抽样K个数。

生成给定范围的随机数

问题描述

• 给定能随机生成整数1~5的函数，写出能随机生成整数1~7的函数

解决思路

• 产生K个数（k>1），假定产生的数分别为N1,N2,……Nk，则产生的数为:N1-1+(N2-1)*5 + (N3-1)*5^2，……，(Nk-1)*5^(k-1)，即产生的数位于（0,5^(k-1)）区间呢。然后把区间等分成k分，则产生的随机数位于（0~6），然后+1即可。如果位于K等分的余数范围，则重新执行上述过程。（PS：不用担心余数问题，当K取3时，落到余数范围的概率已经降为6/125，而且余数不会导致概率的问题，只会影响效率。次解法相当于五进制）

代码实现

int generateRandom(int n) {    if (n < 1)        return -1;    unsigned long long result = 0;    for (int i = 0; i < n; i++) {        result += rand5();    }    result /= 5;    return result;}

如何随机选取1000个关键字

问题描述

• 给定一个数据流，其中包含无穷尽的搜索关键字（比如，人们在谷歌搜索时不断输入的关键字）。如何才能从这个无穷尽的流中随机的选取1000个关键字？

主要思路

• 利用蓄水池算法。先生成一个大小为1000的数组，将前1000个关键字填入数组中，随后的关键字随机进行交换。

在半径为1的圆中随机选取一点

主要思路

• 假设圆心(0,0)。在X轴[-1,1]，Y轴[-1,1]的正方形内随机选点，然后判断该点是否在圆内。正方形的面积为4，圆形的面积为Pi，故而正方形内的随机点落在圆内的概率为: Pi/4

代码实现

void generatePoint(double*x, double *y, int r){    int base = 10000;        while (pow(*x, 2) + pow(*y, 2) > pow(r, 2)) {        *x = random() % 10000;        *y = random() % 10000;        *x = (2 * r / (*x)) - r;        *y = (2 * r / (*y)) - r;    }}

蓄水池算法

问题描述

• 从N个数中，随机抽取K个，是的每个数的抽取概率相同，并且事先不知道K的值

主要思想：

•     保持一个集合（这个集合中的每个数字出现），作为蓄水池，依次遍历所有数据的时候以一定概率替换这个蓄水池中的数字。将前K个元素都放到水库中，然后对之后的第i个元素，以k/i的概率替换掉这个水库中的某一个元素。

方法证明：

1. 初始情况。水库中k个元素的出现概率都一致，都是1。
2. 第一步：处理第k+1个元素。分两种情况：① 元素全部都没有替换；② 其中某个元素被k+1元素替换。
   • 对于case ②：第k+1个元素被选中的概率是k/(k+1)，故而这个新元素在水库中出现的概率就一定是k/(k+1)。而水库中剩余的元素出现的概率也就是1-P（P为元素被替换的概率）。水库中任意一个元素被替换的概率为：(k/k+1) * (1/k) = 1/(k+1)。而旧元素出现的概率为k/k+1。即旧元素和新元素出现的概率是相等的。
   • 对于case①：当没有元素被替换时，每个元素出现的概率是一样的。具体为：1-P(P为第k+1个元素被选中) = 1 - k/(k+1) = 1/(k+1)
3.  利用归纳法：
   • 对于第k+i个元素，其中i ∈(0, length-k)。其出现在水库中的概率为k/(k+i)。利用上面的两步可以得出结论。

算法实现：

int impounding_reservoir(int *array,int length, int k) {    if (k <= 0 || array == NULL         || length <= 0 || k > length) {        return 0;    }        int result[k];    int i = 0, j = 0;    srand((unsigned) time(NULL));     for (i = 0; i < k; i++) {        result[i] = array[i];    }           for (i = k; i < length; i++) {        j = random() % length;        if(j < k)            result[j] = array[i];    }           for (i = 0; i < k; i++)        printf("%d ", result[i]);    printf("\n");     return k;}

产生1~400范围内不重复的20个随机数

int * generateRandom(int *array, int num, int start, int end){    int size = end / 32 + end % 32 > 0 ? 1: 0;    int tmp_arr[size] = {0};    int index = 1, count = 0;    srand(time(NULL));    while(count < num){        index += rand() ;        index %= 400 + 1;        if (test_bit(tmp_arr, index)) {            continue;        } else {            set_bit(tmp_arr, index);            array[count] = index;            index = 1;            count++;        }     }    return array;}