【总结】2-SAT

一、2-SAT 简介：
   SAT是适定性(Satisfiability)问题的简称 。一般形式为k-适定性问题，简称 k-SAT。
当k>2时，k-SAT是NP完全的。因此一般讨论的是k=2的情况，即2-SAT问题。
2-SAT就是2判定性问题（条件只有一个，不是这个就是那个），是一种特殊的逻辑判定问题。
2-SAT，简单的说就是给出n个集合，每个集合有两个元素，已知若干个<a,b>，表示a与b矛盾(其中a与b属于不同的集合)。然后从每个集合选择一个元素，一共选n个两两不矛盾的元素。显然可能有多种选择方案，一般题中只需要求出一种即可。
  附：伍昱的《由对称性解2-SAT问题》
          赵爽的《2-SAT解法浅析》
二、2-SAT 算法流程：
 1．构图   （重点+难点）
 2．求图的极大强连通子图 （模板）
 3．把每个子图收缩成单个节点，根据原图关系构造一个有向无环图 （模板）
 4．判断是否有解，无解则输出（退出） （这块常用到二分枚举答案）
 5．对新图进行拓扑排序 （模板）
 6．自底向上进行选择、删除 （模板）
 7．输出（模板）
三、2-SAT 个人学习思路：
 1.看课件了解什么是2-SAT
 2.学习如何求极大强连通分量（tarjan、kosaraju）
 3.构图，找题目所述的相互矛盾，使不矛盾的那个状态必连，形成有入度出度的有向图
 4.2-sat包括判断和求方案
    判断是否可行只需判断一个点的两个状态是否在一个环里，在的话就无解
    求可行方案，貌似这类的题都会是special judge 因为拓扑序不唯一。 没错，做法就是对 缩点后的新图进行拓扑（用kosaraju的好处是第二次dfs后已经形成拓扑序），然后逆拓扑序进 行选择（删除相对的），逆着是因为这样不会牵及别的，例如入度为0的不止一个等等的，貌似是。
 5.2-sat就这么些，然后就是与别的进行组合(嵌套)使用
四、2-SAT 实战应用
1、伍昱的《由对称性解2-SAT问题》例题
          Peaceful Commission [POI2001]和平委员会

                构图：
              若I和J冲突，则I向J'连边，J向I'连边

            代码+题解报告 
2、Pku 6题说法
               ⑴POJ 3207 - Ikki's Story IV - Panda's Trick   
                 构图： 
                   把每个线段看成两个点，I代表在圆外，I'代表在圆外。若I和J相交，则I向J'连一条边，J'向I连一条边，I'向J连一条边，J向I'连一条边。
             代码+题解报告 
              ⑵POJ 3678 - Katu Puzzle      
                构图：
             把每个变量X看成两个点，I代表0，I'代表1。
             把每个变量Y看成两个点，J代表0，J'代表1。
             Add（I,J）代表从I向J连一条有向边。
             构图，分情况讨论：
              1） X AND Y=1，Add（I',J'），Add（J',I'），Add（I,I'），Add（J,I'）
              2） X AND Y=0，Add（I',J），Add（J',I）
              3） X OR Y=1，Add（I,J'），Add（J,I'）
              4） X OR Y=0，Add（I,J），Add（J,I），Add（I',I），Add（J',J）
              5） X XOR Y=1，Add（I',J），Add（J',I），Add（I,J'），Add（J,I'）
              6） X XOR Y=0，Add（I',J'），Add（J',I'），Add（I,J），Add（J,I）
          代码+题解报告
          ⑶POJ 2723 - Get Luffy Out  
             构图：
          1）若X和Y在同一个门上，则X向Y'连一条边，Y向X'连一条边。
           2）若两个X在同一个门上，则X必然会使用，则X'向X连一条边 
         代码+题解报告 
         ⑷POJ 3683 - Priest John's Busiest Day
          构图：
          设区间（A,B）分为I和I'两个区间。
          若I和J和J'相交，则I肯定不能选，从I向I'连一条边。
          若I仅和J相交，则I向J'连一条边，J向I'连一条边。
          若I仅和J'相交，则I向J连一条边，J'向I'连一条边。
        代码+题解报告 
      ⑸POJ 2749 - Building roads  
          构图：
         把X点连到1号中转站上设为I点，连到2号中转站上设为I'点。
         把Y点连到1号中转站上设为J点，连到2号中转站上设为J'点。
         四种构图方式：
           1） Add（I,J'），Add（J,I'）
           2） Add（I',J），Add（J',I）
           3） Add（I,J），Add（J',I'）
           4） Add（I',J'），Add（J,I）
         对于题目中的输入信息，当两个点必须连到一个中转站上时，使用3，4号构图方式。
                                                    当两个点必须不连到一个中转站上时，使用1，2号构图方式。
         设Dis1[I]代表I到1号中转站的距离，Dis2[I]代表I到2号中转站的距离，D代表中转站之间的距离，每次二分答案Ans。
         若Dis1[I]+Dis1[J]>Ans，使用1号构图方式
         若Dis2[I]+Dis2[J]>Ans，使用2号构图方式
         若Dis1[I]+Dis2[J]+D>Ans，使用3号构图方式
         若Dis2[I]+Dis1[J]+D>Ans，使用4号构图方式。
       代码+题解报告 
      ⑹POJ 3648- Wedding
         构图：
        若I和J冲突，则I向J'连边，J向I'连边
        1号点必须选（从2向1连一条有向边即可）
      代码+题解报告 
  6道题代码构图题解皆参考于Cow Cai0715 题解 
3、pku 第7题
  PKU2296 Map Labeler（未解之谜）

     构图：

       先设2*i:矩形放点i上面 2*i+1:矩形放点i下面，那么首先当abs(x[i]-x[j]) >= r时必定是可以任意放的。而当abs(x[i]-x[j]) < r时：                      ①abs(y[i]-y[j]) < r：当y[i] == y[j]时两个点的矩形可以一上一下，否则只能是上面的点的矩形放上面，下面的点的矩形放下面。              ②abs(y[i]-y[j]) < 2*r：除了上面的点的矩形放下面，下面的点的矩形放上面的情况都是可以的

     代码+题解报告
4、Hdu 2题

  Hdu 3062 Party（未解之谜）

    构图：

      若I,J矛盾，则I和J’，J和I‘连边

  Hdu 3622 Bomb Game（未解之谜）

      构图：

          每个组里选一个炸弹，对于不同组的两个炸弹i和炸弹j只要有dis[i][j] <= 2*r的话那么炸弹i就与炸弹j冲突，连边i->j^1和j->i^1 

五、学习小结
 自从开始学2-sat，就发现代码还是打格好，不然调试真麻烦。。
  自从开始学2-sat，才知道除了太监（tarjan）还有kosaraju
  自从开始学2-sat，就被HDU那个提交程序要写while not eof 暴虐
  自从开始学2-sat，special judge 给我留下了不小的阴影
   好吧扯完了。。。