插板法分小球

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插板法就是在n个元素间的（n-1）个空中插入 若干个（b）个板，可以把n个元素分成（b+1）组的方法。 应用(普通)插板法必须满足三个条件： （1） 这n个元素必须互不相异 （2） 所分成的每一组至少分得一个元素 （3） 分成的组别彼此相异

例子1：普通插板法

把10个相同的小球放入3个不同的箱子，每个箱子至少一个，问有几种情况？ 

解答：问题的题干满足 条件（1）（2），10个小球直接形成9个空挡，放入2个板子可分成3部分，即3个箱子，为c9 2=36 。

例子2：变形插板法1（通过变形转化为例子1中可以直接使用插板法的情形）

把10个相同的小球放入3个不同的箱子，问有几种情况？

解答：此时箱子可以有空的情况，可以预先往每个箱子里放入1个小球，真正计算箱子内的小球数时由板子隔出的小球数减1即可，即转化为：10+3=13个小球放到3个箱子，每个至少一个小球，根据插板法有C12，2=66。

例子3：变形插板法2（通过变形转化为例子1中可以直接使用插板法的情形）

把10个相同小球放入3个不同箱子，第一个箱子至少1个，第二个箱子至少3个，第三个箱子可以放空球，有几种情况？ 

解答：仍然先转化为每个箱子内至少一个小球，这样转化（1）：第一个满足要求，第二个箱子可以预先放入2个（不同于例2，这里的2个小球是从10个中垫，而例2是额外添加的），第三个预先放入1个（添加的小球1个），这样相当于”有10-2+1=9个小球放入3个箱子，每个内至少一个小球“，应用插板法有C8，2=28。

第二种转化法（2）：将3个小球绑定在一起当做一个小球，插板时只要分到第二个箱子认为分得的就是至少有一个绑定的小球，其他的分得正常小球，第三个与上面相同。

 总之，上述一类的分球问题都可以通过一定的方法转为”插板法“来解决。