最小点集覆盖圆

转载自：http://soft.cs.tsinghua.edu.cn/blog/?q=node/1066

平面点集的最小包围圆

平面点集的最小包围圆
1、           问题背景
 
考察固定在工作平台上的一直机械手，要捡起散落在不同位置的多个零件，并送到别的地方。那么，这只机械手的底座应该选在哪里呢？根据直觉，应该选在机械手需够着的那些位置的“中心”。准确地讲，也就是包围这些点的那个最小圆的圆心----该位置的好处是，可使机械手的底座到它需要够着的那些点的最大距离最小化。于是可得如下问题：给定由平面上n个点所组成的一个集合P（对应于机械手需要够着的工作平台的那些位置），试找出P的最小包围圆（smallest enclosing disc）----亦即，包含P中所有点、半径最小的那个圆。这个最小包围圆必然是唯一的。
 
2、算法及原理
 
算法介绍：我们本次算法的设计是基于这样一个简单直观的性质：在既定的给定点条件下，如果引入一张新的半平面，只要此前的最优解顶点（即唯一确定最小包围圆的几个关键顶点）能够包含于其中，则不必对此最优解进行修改，亦即此亦为新点集的最优解；否则，新的最优解顶点必然位于这个新的半空间的边界上。
定理可以通过反证法证明。
于是，基于此性质，我们便可得到一个类似于线性规划算法的随机增量式算法。定义Di为相对于pi的最小包围圆。此算法实现的关键在于对于pi∉Di-1时的处理。显然，如果pi∈Di-1，则Di= Di-1；否则，需要对Di另外更新。而且，Di的组成必然包含了pi；因此，此种情况下的最小包围圆是过pi点且覆盖点集{ p1 ，p2 ，p3 ……pi-1}的最小包围圆。则仿照上述处理的思路，Di={ p1 ，pi }，逐个判断点集{ p2 ，p3 ……pi-1 }，如果存在pj∉ Di，则Di={pj，pi }。同时，再依次对点集{ p1 ，p2 ，p3 ……pj-1 }判断是否满足pk∈Di，若有不满足，则Di={pk ，pj，pi }。由于，三点唯一地确定一个圆，故而，只需在此基础上判断其他的点是否位于此包围圆内，不停地更新pk。当最内层循环完成时，退出循环，转而更新pj；当次内层循环结束时，退出循环，更新pi。当i=n时，表明对所有的顶点均已处理过 ，此时的Dn即表示覆盖了给定n个点的最小包围圆。
 
算法  MINIDISC（P）
输入：由平面上n个点组成的一个集合P
输出：P的最小包围圆
1.    令D2为对应于{ p1，p2}的最小包围圆
2.    for  i ← 3 to n
3.      do if  pi ∈ Di-1
4.          then  Di ← Di-1
5.          else  Di ← MINIDISCWITHPOINT{{ p1 ，p2 ，p3 ……pi-1}，pi}
6.    return  Dn
算法  MINIDISCWITHPOINT（P，q）
输入：由平面上n个点构成的一个集合P，以及另外一个点q
输出：在满足“边界穿过q”的前提下，P的最小包围圆
1.    令D1为对应于{ p1，q}的最小包围圆
2.    for  j ← 2 to n
3.      do if  pj ∈ Dj-1
4.          then  Dj ← Dj-1
5.          else  Dj ← MINIDISCWITH2POINT{{ p1 ，p2 ，p3 ……pj-1}，pj，pi}
6.    return  Dn
算法  MINIDISCWITH2POINT（P，q1，q2）
输入：由平面上n个点构成的一个集合P，以及另外两个点q1，q2
输出：在满足“边界穿过q1，q2”的前提下，P的最小包围圆
1.    令D0为对应于{ q1，q2}的最小包围圆
2.    for  k ← 1 to n
3.      do if  pk∈ Dk-1
4.          then  Dk ← Dk-1
5.          else  Dk ← q1，q2和pk确定的圆
6.    return  Dn
 
时间复杂度：此算法对于任意给定的n个点，可以再O（n）的期望运行时间内计算出来。
算法MINIDISCWITH2POINT中的每一轮迭代循环只需要常数时间，因此其运行时间为O(n)；另外，它只需要线性的空间。至于算法MINIDISCWITHPOINT和MINIDISC，他们也同样只需要线性的存储空间。对于它们的期望运行时间分析如下：对于算法MINIDISCWITHPOINT，只要不计入其调用MINIDISCWITH2POINT的时间，其余计算所需要的时间为O（n）。依据概率论分析可以求其期望运行时间的上界O（n）+
 
2、           遇到的问题及解决对策
 
实验之初，我们曾提出一种比较直观的算法，即从平面上的任意三点出发，求其最小包围圆，；再依次判断之外的点，看其相对位置是位于圆内（包括在圆上）还是圆外。若在圆内，则最小包围圆不变，再判断下个点；否则，求包围此四点的最小包围圆。逐个迭代，直至完全遍历。显然，该算法的时间复杂度比较大，达到O（n4），在实际应用中是不可取的。
 
 
4、测试结果

红色的点为求出的圆心位置显示。
 
算法效率说明
数据规模 算法执行时间（ms）
50 0
500 16
5000 110
50000 359
 
 
5、程序说明
1. 在空白区域可以直接点击鼠标逐个输入点数据。(目前支持最大65536个点的数据)，直接计算出最小覆盖圆的圆心，半径
    2. 菜单栏"数据"-->"清空数据":  将已有的数据信息删除，以便完成新的输入操作。
    3. 菜单栏"数据"-->"随机数":    输入需要的随机点个数，产生随机点。(目前支持最大128个点的数据)
    4. 菜单栏"数据"-->"保存样例":  保存当前输入点的信息，存储为txt文件。最后一行的结果为圆心的坐标，圆的半径
    5. 菜单栏"数据"-->"选择样例":  根据选择的txt文件，批量生成点的信息数据
6．状态栏上给出了算法的执行时间
   
 
6、参考文献
1.smallest enclosing disks balls and ellipsoids by EMO Welzl
2.计算几何-算法与应用（第二版）