Miller-Rabin测试-大素数问题

【基本定理】

——【定理】①費馬小定理： 假如p是质数，且(a,p)=1，那么a^(p-1) ≡1(mod p)

——【定理】②二次探測定理：如果p是一个素数，0<x<p,则方程x^2≡1(mod p)的解为x=1,p-1

【推倒】

——有上述兩定理可以排除大多不是素數的情況。

——對於②二次探測定理 的詳細說明：一個不為1的數n通過了費馬小定理測試后，需要進行二次探測定理測試進一步判斷是否為素數。令n=1+m*2^j，其中m為奇數，j為正整數。若n為奇數，那麼對於任意一個底a，若n為素數那麼有a^n=1(mod n)或(a^n)^(2^j)=-1(mod n)成立。MillerRabin算法的核心便在於此。

【算法流程】

——【變量說明】：n是需要判斷的數，m,n,j,i,v為臨時變量

——【第一步】：計算m,j使得n=m*2^j+1

——【第二步】：隨機一個b且b不是n的倍數，計算v=b^m%n，若v為1則通過測試并且算法結束

——【第三步】：令i=1

——【第四步】：如果v=n-1則通過測試並且算法結束

——【第五步】：如果i=j無法通過測試並且算法結束

——【第六步】：v=v^2%n,i++，轉到第三步

【附注】

——算法的正確性75%左右，斷幾p次正確率為1-(1/4)^p

——如果n<1373653，那麼通過2,3為底的測試就是素數

——如果n<25326001，那麼通過2,3,5為底的測試就是素數

——如果n<25000000000，那麼通過2,3,5,7為底的測試就是素數

——如果n<2152302898747，那麼通過2,3,5,7,11為底的測試就是素數

——如果n<3474749660383，那麼通過2,3,5,7,11,13為底的測試就是素數

——如果n<341550071728321，那麼通過2,3,5,7,11,13,17為底的測試就是素數 

——如果n<9080191，那麼通過31,73為底的測試就是素數

——如果n<4759123141，那麼通過2,7,61為底的測試就是素數

——如果n<170584961，那麼通過350,3958281543為底的測試就是素數

——如果n<75792980677，那麼通過2,379215,457083754為底的測試就是素數

——如果n<21652684502221，那麼通過2,1215,34862,574237825為底的測試就是素數