Miller-Rabin素数测试

1.a * b % n

例如: b = 1011101那么a * b mod n = (a * 1000000 mod n + a * 10000 mod n + a * 1000 mod n + a * 100 mod n + a * 1 mod n) mod n 

ll mod_mul(ll a, ll b, ll n) {    ll res = 0;    while(b)     {        if(b&1)    res = (res + a) % n;        a = (a + a) % n;        b >>= 1;    }    return res;}

2.a^b % n

ll mod_exp(ll a, ll b, ll n) {    ll res = 1;    while(b)     {        if(b&1)    res = mod_mul(res, a, n);        a = mod_mul(a, a, n);        b >>= 1;    }    return res;}

3.Miller-Rabin测试（测试一个大数是否为素数）

费马小定理：对于素数p和任意整数a，有ap ≡ a(mod p)（同余）。反过来，满足ap ≡ a(mod p)，p也几乎一定是素数。
伪素数：如果n是一个正整数，如果存在和n互素的正整数a满足 an-1 ≡ 1(mod n)，我们说n是基于a的伪素数。如果一个数是伪素数，那么它几乎肯定是素数。
Miller-Rabin测试：不断选取不超过n-1的基b(s次)，计算是否每次都有bn-1 ≡ 1(mod n)，若每次都成立则n是素数，否则为合数。
二次探测定理：如果p是奇素数，则 x2 ≡ 1(mod p)的解为 x = 1 || x = p - 1(mod p);

bool miller_rabin(ll n) {    if(n == 2 || n == 3 || n == 5 || n == 7 || n == 11)    return true;    if(n == 1 || !(n%2) || !(n%3) || !(n%5) || !(n%7) || !(n%11))    return false;    ll x, pre, u;    int i, j, k = 0;    u = n - 1;    //要求x^u % n    while(!(u&1))     {    //如果u为偶数则u右移，用k记录移位数        k++; u >>= 1;    }    srand((ll)time(0));    for(i = 0; i < S; ++i)  //进行S次测试    {           x = rand()%(n-2) + 2;    //在[2, n)中取随机数        if((x%n) == 0)    continue;        x = mod_exp(x, u, n);    //先计算(x^u) % n，        pre = x;        for(j = 0; j < k; ++j) //把移位减掉的量补上，并在这地方加上二次探测        {               x = mod_mul(x, x, n);            if(x == 1 && pre != 1 && pre != n-1)    return false;    //二次探测定理，这里如果x = 1则pre 必须等于 1，或则 n-1否则可以判断不是素数            pre = x;        }        if(x != 1)    return false;    //费马小定理    }    return true;}