km算法与最佳匹配

KM算法

该算法是通过给每个顶点一个标号（叫做顶标）来把求最大权匹配的问题转化为求完备匹配的问题的。设顶点Xi的顶标为A[ i ]，顶点Yj的顶标为B[ j ]，顶点Xi与Yj之间的边权为w[i,j]。在算法执行过程中的任一时刻，对于任一条边(i,j)，A[ i ]+B[j]>=w[i,j]始终成立。

　　KM算法的正确性基于以下定理：

　　若由二分图中所有满足A[ i ]+B[j]=w[i,j]的边(i,j)构成的子图（称做相等子图）有完备匹配，那么这个完备匹配就是二分图的最大权匹配。

　　首先解释下什么是完备匹配，所谓的完备匹配就是在二部图中，X点集中的所有点都有对应的匹配或者是

　　Y点集中所有的点都有对应的匹配，则称该匹配为完备匹配。

　　这个定理是显然的。因为对于二分图的任意一个匹配，如果它包含于相等子图，那么它的边权和等于所有顶点的顶标和；如果它有的边不包含于相等子图，那么它的边权和小于所有顶点的顶标和。所以相等子图的完备匹配一定是二分图的最大权匹配。

　　初始时为了使A[ i ]+B[j]>=w[i,j]恒成立，令A[ i ]为所有与顶点Xi关联的边的最大权，B[j]=0。如果当前的相等子图没有完备匹配，就按下面的方法修改顶标以使扩大相等子图，直到相等子图具有完备匹配为止。

　　我们求当前相等子图的完备匹配失败了，是因为对于某个X顶点，我们找不到一条从它出发的交错路。这时我们获得了一棵交错树，它的叶子结点全部是X顶点。现在我们把交错树中X顶点的顶标全都减小某个值d，Y顶点的顶标全都增加同一个值d，那么我们会发现：

　　1）两端都在交错树中的边(i,j)，A[ i ]+B[j]的值没有变化。也就是说，它原来属于相等子图，现在仍属于相等子图。

　　2）两端都不在交错树中的边(i,j)，A[ i ]和B[j]都没有变化。也就是说，它原来属于（或不属于）相等子图，现在仍属于（或不属于）相等子图。

　　3）X端不在交错树中，Y端在交错树中的边(i,j)，它的A[ i ]+B[j]的值有所增大。它原来不属于相等子图，现在仍不属于相等子图。

　　4）X端在交错树中，Y端不在交错树中的边(i,j)，它的A[ i ]+B[j]的值有所减小。也就说，它原来不属于相等子图，现在可能进入了相等子图，因而使相等子图得到了扩大。

　　现在的问题就是求d值了。为了使A[ i ]+B[j]>=w[i,j]始终成立，且至少有一条边进入相等子图，d应该等于：

　　Min{A[ i ]+B[j]-w[i,j] | Xi在交错树中，Yi不在交错树中}。

 

 

程序：

function find(x:longint):boolean;var  y:longint;begin  vx[x]:=true;  for y:=1 to n do  if (not vy[y])and(lx[x]+ly[y]=w[x,y]) then      begin        vy[y]:=true;        if (b[y]=0)or find(b[y]) then         begin           b[y]:=x;           exit(true);         end;     end;  exit(false);end; procedure KM;begin  for i:=1 to n do  begin    max:=0;    for j:=1 to n do    if w[i,j]>max then    max:=w[i,j];    lx[i]:=max;  end;  for k:=1 to n do  repeat    fillchar(vx,sizeof(vx),0);    fillchar(vy,sizeof(vy),0);    if find(k) then break;    d:=maxlongint;    for i:=1 to n do    if vx[i] then      for j:=1 to n do      if not vy[j] then        if lx[i]+ly[j]-w[i,j]<d then        d:=lx[i]+ly[j]-w[i,j];    for i:=1 to n do    begin      if vx[i] then dec(lx[i],d);      if vy[i] then inc(ly[i],d);    end;  until false;end;