趣味题集粹

1. 华生选择任务（Wason selection task）- 逻辑题

You are shown a set of four cards placed on a table, each of which has a number on one side and a colored patch on the other side. The visible faces of the cards show 3, 8, red and brown. Which card(s) must you turn over in order to test the truth of the proposition that if a card shows an even number on one face, then its opposite face is red?

桌面上有四张卡，每张卡一面是数字，一面是颜色。现在可见的一面是3、8、红色、棕色。你至少要应该翻开哪些牌，才能验证这句论述“如果卡的一面是偶数，另一面必然是红色”？

答案： 翻两张牌：8、棕色

分析：数理逻辑中的蕴涵关系：A->B与B非->A非等价。

只需要验证：如果一面为偶数，另一面为红色（即符合规则）；或者一面不为红色（即棕色牌），另一面为奇数（也符合规则）。

2.  贝叶斯推理（Bayesian Reasoning）- 概率题

1% of women at age forty who participate in routine screening have breast cancer.  80% of women with breast cancer will get positive mammographies.  9.6% of women without breast cancer will also get positive mammographies.  A woman in this age group had a positive mammography in a routine screening.  What is the probability that she actually has breast cancer?

经常参加筛查的50岁妇女中有1%的得乳腺癌。得乳腺癌的妇女中有80%经过X照片显示阳性；没有得乳腺癌的妇女中有9.6%的经过X照片也显示阳性。如果这个年龄组的某个妇女参加筛查显示阳性，那么她得乳腺癌的的概率有多高？

答案: 7.8%

分析：直觉理解：如果样本中有10000名妇女，其中有100名（=10000*1%）患有乳腺癌；剩下的9900人没有患乳腺癌。在100名患者中80人（100*80%）检查出呈阳性；在9900名未患乳腺癌的妇女中有950人（=9900*9.6%）检查出也呈阳性。那么检查出呈阳性的总人数为80+950=1030，而这些呈阳性结果的人当中只有80人确实患乳腺癌（其他的950人都是false positive，相比较80这个true positive而言，950这个false positive数量非常大），所以检查出阳性表明确实患有乳腺癌的概率为80/1030=7.8%。

或者利用贝叶斯公式：

目的是计算阳性结果中患乳腺癌的概率，这是一个条件概率。

设A: 结果阳性  M:患乳腺癌，那么相当于求P(M|A)。

而P(M|A)P(A) = P(A|M)P(M)，所以P(M|A)= P(A|M)P(M) / P(A)      .....(公式1)

其中P(A|M)等于80%（患乳腺癌的妇女检查阳性），P(M)等于1%(乳腺癌的患病概率)。

下面考虑如何计算P(A):

设N: 未患乳腺癌

A集合空间可以划分为M（患乳腺癌）和N(没患乳腺癌)两类妇女。所以根据条件概率公式：

P(A)=P(AM) + P(AN) = P(A|M)P(M) + P(A|N)P(N)，     .....(公式2)

其中P(AM)表示集合A和M的交集；P(AN)表示集合A和N的交集。P(A|N)等于9.6%（没患乳腺癌的妇女中检查阳性），P(N)=1-P(M)=99%（没有患乳腺癌的概率）。

公式1和公式2合并就是贝叶斯公式（Bayes' Rule）:

P(M|A)= P(A|M)P(M) / [P(A|M)P(M) + P(A|N)P(N)] = 0.8*0.01 / [0.8*0.01 + 0.096*0.99] =   8/103.04 = 0.078
也就是说结果呈阳性的妇女中患乳腺癌的概率只有7.8% (概率这么低的原因是因为false positive太多！)

3. 猎人分钱（概率题）

有两个猎人甲和乙去狩猎，在森林里发现一只熊，于是甲和乙同时朝熊开枪，熊被打死了但是发现只有一个枪眼。至于是谁打中的不知道。猎人甲枪法比较准，他的命中概率是0.8；猎人乙经验没有这么丰富，他的命中率只有0.4。过了几天之后，他们两人将熊皮在市场上出售卖得50元钱，请问应该如何将这50元钱地在甲和乙之间分才最公平？

答案: 甲得42.8元，乙得7.2元。
分析：熊被打中有两种可能：1）要么是甲打中的（而且仅仅是甲打中的，乙没有打中），2）要么是乙打中的（而且仅仅是乙打中的，甲没有打中）。如果是第一种可能，也就是说猎手甲打中的可能性是0.8*（1-0.4）=0.48；如果是第二种可能，也就是说猎手乙打中的可能性是0.4*(1-0.8)=0.08。所以猎手甲应该分的钱数为50 * 0.48/(0.48+0.08) = 42.8元; 猎手乙应该分的钱数为50 - 42.8 = 7.2元。