1. 图灵的历史贡献
阿兰·图灵[1]是一位天才的数学家，最早对歌德尔[2]关于“逻辑无法刻画所有数学公理”的证明进行了扩展，指出计算机不能完全证明数学命题。这里数学与计算机的联系后来被发展成了计算机科学的数学基础，如同物理学和其他自然科学中的数学基础一样。本文指出，图灵机并不适于作为解决可计算问题的通用基础，从根本上来说，计算机科学不存在数学定律。我们将要说明，包括图灵、迈勒[3]等人在内的学者业已使用交互机来扩展图灵机形成了超图灵计算，尽管交互机不是唯一方式。
图灵生于1912年，在1930年进入剑桥大学学习数学。1934年在22岁时进入国王学院，完成了一篇对冯·诺依曼[4]组合论[5]进行扩展的学位论文。1936年，他发表了论文《关于可计算数及其在可判定问题上的应用》，证明了计算机不能为数学建立完整的模型。在1940年代早期，他开发了破译德军密码的计算机模型，帮助了英国赢得战争。在1940年代后期，他开发了一个人工智能的计算模型：下棋程序，并预测计算机可以完全刻画人类智能，并且到20世纪末期在下棋方面将会超过人类。尽管图灵1936年的论文主要说明的是在解决数学问题时图灵机不能够做什么的问题，但是从1960年代开始，计算机理论科学家们却逐渐开始将图灵机作为一种解决所有可计算问题的模型。本文首先考察了图灵机模型在1930年用于说明图灵模型解决数学问题的不可能性再转变到1960年说明可计算能力的历史演变过程。然后分析了进入1990年代之后，计算逐渐被广泛地应用，扩展了我们关于“可计算问题”的概念，也揭示了图灵机在处理可计算问题时的有限能力。
2. 希尔波特、歌德尔和丘奇
在1900年，希尔波特[6]提出逻辑可以完全证明数学命题的真伪，并且列举了数学家们应该尝试证明的25个未证的数学命题。罗素[7]和怀特黑德[8]的名著《数学原理》接受了希尔波特的观点，提出了一套数理逻辑方法作为数学可证明性问题的通用模型。但是他们提出的目标没有实现，促使歌德尔在1931年证明了“逻辑不能够证明所有的数学问题”。歌德尔指出，可判定问题从根本上在逻辑上是无解的。这项工作直接导致了很多数学家开始对逻辑和其他各种数学模型上不可解问题的理论基础和哲学思想进行进一步解释的大量研究。
歌德尔的思想受到了丘奇[9]的启发，后者在1935年证明了可判定问题不能通过λ演算[10]解决。相对应的，图灵也通过计算机证明了可判定问题不可解，因为图灵机本身的“停机问题”[11]就是不可解的。图灵的结果被歌德尔和丘奇作为一种更加简单和更好的不可判定问题的证明而接受。1937年，图灵受邀到普林斯顿和丘奇一起工作，力图解决后来被广泛知晓的“丘奇－图灵论题”。这个论题认为一阶逻辑、λ演算、图灵机和算法运算作为问题求解的方法是等价的模型。后来，这个论题被看作一个求解所有可计算问题的统一的、完整的机制被重新解释。
图灵1936年的论文暗示了图灵机（他称作自动机，或a-机）不能提供所有计算形式的完整模型，就像不能提供所有数学公理的模型一样。他在计算的过程中加入了交互选择，定义了c-机（选择机）作为计算的另一个可选模型。后来，图灵又定义了u-机（无组织机）作为另一个描述思维的模型。但是，图灵没有将这两种模型形式化。在1960年代，因为假设图灵模型能够描述一切的可计算问题，就将这两种模型作为不必要的而放弃了。尽管对于丘奇-图灵论题狭义的重新解释和图灵本来关于图灵机只能对算法上可解问题进行形式化的命题自相矛盾，但它在1960年代仍然被广泛接受，甚至变成了计算理论里教条式的原则。计算机科学建立在理论图灵机模型的数学模型基础之上，就相当于物理、化学和生物的科学模型基础一样，但是它只提供了一个可接受而却很弱的计算理论。
3. 从算法到交互
在图灵1936年开创性的论文发表之后，从1960年代开始，计算机科学将它视作一条自然法则，全世界范围内的大学开始将其作为大学课程的一部分进行教授。到了1968年，关于这项法则应该教给学生们什么内容上达成了一致意见，形成ACM1968年的课程文档[12]。这条法则将计算视作信息处理的过程，这个过程就是从输入到输出的转换——这里的输入在计算开始之前已被完全定义，输出提供的就是要解决问题的答案。这样的一种机制转换过程在数学中长期以来被广泛称作运算规则，因此在计算科学中，这样的计算方式被称作算法。
从1960年代开始，计算领域已经极大地扩展，目前已经出现了诸如人工智能、图形和互联网等等很多s不能被图灵机表示的情况。在每一种情况下，程序与世界（环境）之间的交互在计算过程中起到了一个关键的作用，而这里的交互不能够被计算开始之前的任何输入集合所代替。例如在人工智能中，交互可以视作智能系统的动作开始之前的预先条件，正如布鲁克斯[13]所指出：
“现实的计算系统不是获得输入，按照逻辑运算，然后产生输出的理性个体……智能在哪儿，环境交互在哪儿，这些都很难获得明确的路线。在某种情况下，谁是谁也许真的不重要，就像所有的智能系统必须被安置在某种环境下，只要它们是有用的就可以了。”
英国计算机科学家罗宾·迈勒提出了一个新的计算模型的概念框架，其基于CCS[14]和后来的p-演算[15]。在他的图灵奖获奖演说《交互的元素》中，他亦声称目前的计算模型是不充分的：
“经过七十年之后，我开始明白了，流通和交互的理论需要一种新的概念框架，而不仅仅是我们已经发现的精巧的按照自然顺序的（算法）计算。”
4. 超图灵计算
迈勒在1991年的图灵奖获奖演说中提出了交互模型作为图灵机闭盒运算的补充。但是，他跳过了CCS和p-演算是否已经超越了图灵机和算法的问题。图灵机已经被广泛接受作为一种完全计算的原则，因为在上世纪70末和80年代初公开挑战此论断还为时过早。但是，最近二十多年来，随着计算技术从大型机到工作站再到网络和无线设备，相应的应用也从数值计算与数字处理转到了嵌入式系统和人机接口上。我们相信，加入交互作为计算的部分已经不再为时过早了。在我们的可计算性问题概念上应该有路线上的调整，使得它能够提供一种完善的模型用来为今天的计算系统和软件系统服务。
交互机的模型，作为图灵机的一种扩充，在1990年代后期被提出。其理论框架在文献[GSW01]中得到了改进。一名荷兰计算理论专家，冯·李尤文，撰写了一篇扩充计算机模型的超图灵模型方面的论文，引用了最近关于交互机的模型，并且认为：
“经典的图灵机方法可能不再是用来描述当今计算特征的完全合适的方法了。”
我们的交互机模型面临的问题在于我们最初没有能够提出一套可比于图灵机的理论框架。但是，完全的计算模型常常在没有理论基础或者数学模型的基础上发展起来的。甚至图灵提出的c-机[Tu36]和u-机[Tu48]也没有任何常规的基础。
尽管通过类推于物理学中的建模，数学被用来作为描述计算机的理论模型，歌德尔却已经在1931年即指出逻辑不能够刻画数学[Go31]，并且图灵也指出，不论是逻辑还是算法都不能完整地描述计算和人类思维。除了交互机之外，还有别的超图灵计算模型被提出，比如带实数的计算[16]。但是，设想所有的计算都可以通过算法进行描述仍然被广泛地接受。交互机模型被批评为一种不必要的库恩式的路线改进[17]。但是，歌德尔、丘奇、图灵，以及最近的迈勒、维格勒和冯·李尤文均认为实际情况并非如此。
布朗大学彼得·维格勒(Peter Wegner)，康涅狄格大学 蒂娜·高汀(Dina Goldin)，张海粟 编译
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