从放苹果问题想到的

    把M个同样的苹果放在N个同样的盘子里，允许有的盘子空着不放，问共有多少种不同的分法？（用K表示） 5，1，1和1，5，1 是同一种分法。这个题目等同于 M个非负整数之和为N，问有多少组不同组合。
    这个其实是组合数学中的剖分。
    称（m1,m2,……,mk）为正整数n的一个剖分，如果m1,m2,……,mk是正整数，n=m1+m2+…+mk，并且n>=m1>=m2>=…>=mk>0,(也就是每个子集均为非空子集)，其中mi成为此剖分的项，k为剖分的项数。不同的剖分个数称为剖分数。
    
    剖分的主要性质：
              1）把n拆分成不多于k项的剖分数等于把n拆分成最大项不超过k的剖分数。
        2）把n拆分成最大项为k的剖分数等于把n拆分成k项的剖分数。
        3）把n拆分成互不相同的若干奇数项的剖分数等于把n拆分成有自共轭Ferrer图             像的剖分数。
              4）设P(m,n)是把n拆分成各项属于{1,2,…,m}的剖分数，则{P(m,n)}的生成函数是

                                              

              把n拆分成各项属于{1,2,…,m}，且m至少出现一次，其剖分数生成函数是

                            

              即P(m,n)-P(m-1,n)。

              5）设P(n)是n的剖分数，则序列{P(n)}的生成函数是

                                              

    若各项次序不同认为是不同的剖分，则把n拆分成r块的剖分数是组合C(n-1,r-1)。如7拆分成4块，其不同的剖分有以下C(6,3)=20种。

                                          

    注意上述情况中，子集均为非空集。

    再来看分苹果的题目，题目是允许出现空集的情况，相当于把M拆分为不多于N项的剖分数。因此可以利用性质1，转化一下，即M拆分为最大项不大于N的剖分数。由此可以得到递推式

                                    P(M,N)=P(M,N-1)+P(M-N,N)

    解释一下这个递推式，我们把P(M,N)的剖分分为两类，一类是划分的每一块都小于N的这种剖分，他有P(M,N-1)个；另一类是在划分中至少有一块是N的这种剖分。因为在划分中至少有一块是N，所以问题就变成M-N的每一块小于或等于N的剖分，这种剖分有P(M-N,N)个。

   因此由此递推式就可以DP解决这一类问题。当然需要定义好P(M,N)中，M=0或N=0，N=1 或M<N等几种情况。

 

从上述剖分的描述中，这类题目也可以通过生成函数求解。

                          

该生成函数通过级数展开，x的n次幂的系数即为要求的组合数。

 

如果题目中的盘子是不相同的，那就等同于求 x1+x2+…+xn=M 的非负整数解的个数。可以用挡板法求解。其实相当于在M个相同的球中插入N-1个相同的挡板。因此组合数

t = (M+N-1)! / ( M! * (N-1)! ) = C(M+N-1,M)，即为不同解个数。