阶乘

这几天做到高精度，hdoj的1042着实纠结一番，以前的模板完全不能用不是ＷＡ就是超空间。

转载：

有关阶乘的算法，不外乎两个方面：一是高精度计算；二是与数论相关。


一. 高精度计算阶乘 


         这实际上是最没有技术含量的问题，但是又会经常用到，所以还是得编写，优化它的计算。 


         首先看小于等于12的阶乘计算(计算结果不会超出32位范围): 

           int factorial(int n) {            if (n == 1 || n == 0) return 1;            return factorial(n-1)*n;            } 

         这个递归程序简单明了，非常直观，然而一旦n > 12，则超过32位int型的范围出现错误结果，所以上面这个递归程序仅适合
n <= 12的阶乘计算，为了计算较大n的阶乘，需要将高精度乘法算法纳入到阶乘计算中来，高精度乘法过程可以如下简单的描述：（其中A * B = C，A[0], B[0], C[0]分别存储长度） 

         for (i = 1; i <= A[0]; i++)          for (j = 1; j <= B[0]; j++) {          C[i+j-1] += A*B[j];          // 当前i+j-1位对应项 + A * B[j]          C[i+j] += C[i+j-1]/10;         // 它的后一位 + 它的商（进位）          C[i+j-1] %= 10;                  // 它再取余即可          }          C[0] = A[0] + B[0];          while (C[0] > 1 && C[C[0]] == 0) C[0]--;   // 去头0，获得实际C的长度 有了这个高精度乘法之后，计算阶乘就可以简单的迭代进行：         for (i = 2; i <= n; i++) {           将i转换成字符数组;           执行高精度乘法：将上一次结果乘上i          } 

二. 与数论有关 


         由于阶乘到后面越来越大，巧妙的利用数论求得一些有趣的数字（数值）等成为阶乘算法的设计点，下面给出几道相关的问题与分析： 


(1)   计算阶乘末尾第一个非0数字： 


这是一个比较经典的问题，比较复杂的算法是利用一个艰难的数学公式，可惜我不会，从网上的资料学习中，整理出下面这个简单易懂的算法： 


观察n!，可以发现在乘的过程中，对于任意 n > 1，n!的末尾第一个非0数字都是偶数。我们只需保留最后一位非零数。当要乘的数中含有因数5时，我们可以把所有的因数5都当作8来乘。这是因为: 


...x2*5=...10（舍）或...60，最后一位非零数为6。而恰好2*8=16，末位为6。 


...x4*5=...70（舍）或...20，最后一位非零数为2。而恰好4*8=32，末位为2。 


...x6*5=...30（舍）或...80，最后一位非零数为8。而恰好6*8=48，末位为8。 


...x8*5=...90（舍）或...40，最后一位非零数为4。而恰好8*8=64，末位为4。 


(对于n > 1时，最后一位不会出现 1, 7, 3, 9，而永远是2, 4, 6, 8的循环出现) 


         因此，在迭代作乘法时，主要就是计算因子5的数量，同时可见因子5的个数以4为循环节（即只需要取它的数量对4取模）。那么对于不同情况下的因子5的数量，可以通过
res[5][4] = {{0,0,0,0}, {2,6,8,4}, {4,2,6,8}, {6,8,4,2}, {8,4,2,6}}来得到，使用nonzero表示i的阶乘的最后一位，那么： 


         如果t是偶数，则直接乘：n(nonzero[i-1]*t)%10。 


         否则nres[((nonzero[i-1]*t)%10)/2][five]; 


其中t是除掉所有因子5的结果，five为因子5数量对4的模。相关题目： http://acm.zju.edu.cn第1222题。不过这一道题注意的是，它的输入n并非只在32位int数值范围内，而是有很大的长度，所以计算这道变态题目时，需要利用到高精度除法(n/=5)和高精度加法(cnt+=n)。 


另：直接给出公式： a(i)=a(i-1)*i%10;      (i%5!=0)
a(i)=a(i/5)*t%10;      (i%5==0)       s=i%4;        s=0,t=6;      s=1,t=2;      s=2,t=4;      s=3,t=8;


(2). 阶乘末尾有多少个0 


         分析发现，实际上形成末尾0，就是因子5的数量，而计算1~n之间包含一个因子i的个数的简单算法就是： 

cnt = 0; while (n) { n /= i; cnt += n; } 

因此，直接将i换成5，就可以得到因子5的数量，也即n!末尾0的数量。相关题目：http://acm.zju.edu.cn的第2022题。 


(3). 返回阶乘左边的第二个数字 


         简单算法：用实数乘，超过100就除以10，最后取个位即可。因为整数部分的个位就是阶乘结果左边的第二个数字。相关题目： 


http://acm.tongji.edu.cn的1016题。 


(4). 判断数值 m 是否可以整除 n! 


算法：使用素因子判断法 


A. 首先直接输出两种特殊情况： 


m == 0 则0肯定不会整除n!； 


n >= m 则m肯定可以整除n!; 


B. 那么就只剩最后一种情况：m > n，我们从m的最小素因子取起，设素因子为i那么可以求得m的素因子i的个数 nums1；再检查闭区间 i ~ n 之间的数，一共包含多少个素因子i，就可以简单的利用上面(2)中所介绍的数学公式进行计算得到nums2。如果nums2 < nums1，就表示1 ~ n中包含素因子的数量 < 除数m包含素因子i的数量，那么m必然不能整除n!，置ok = false。 


C. 最后：如果 !ok or m > n or m == 0 则不能整除；否则可以整除 


相关题目：JOJ 1926 Factovisors http://acm.jlu.edu.cn/joj/showproblem.php?pid=1926  

/*Author:Fandywang_jlu     History:2007-07-28 *///prototype#include <stdio.h>#include <math.h>int main(void){    int        n, m;    while( scanf("%d%d", &n, &m) == 2 )    {        if( m == 0 )        {            printf("%d does not divide %d!n", m, n);            continue;        }        if( m <= n )        {            printf("%d divides %d!n", m, n);            continue;        }        int        mtmp = m;        int        msqrt = int(sqrt(mtmp)) + 1;        bool        flag = true;        int        i, j;        for( i = 2; i < msqrt && mtmp; ++i )        {            if( mtmp % i == 0 )            {                int        count = 0;                while( mtmp % i == 0 && mtmp )                {                    mtmp /= i;                    ++count;                }                for( j = i; j <= n && count > 0; j *= i )                    count -= n / j;      //!!!!                if( count > 0 )                {                    flag = false;                    break;                }                msqrt = int(sqrt(mtmp)) + 1;            }        }        if( !flag || mtmp > n )            printf("%d does not divide %d!n", m, n);        else printf("%d divides %d!n", m, n);    }    return 0;

(5).数字N能否表示成若干个不相同的阶乘的和： 
}         这里可以选择的阶乘为：0! ~ 9!，实际上这一题与数论无关，与搜索有关。相关题目：http://acm.zju.edu.cn 的2358题。 


         分析，由于可供选择的阶乘数量较少，直接可以利用DFS搜索来做： 


A. 首先将0 ~ 9的阶乘作一个表A[10]；再设置一个可以组成“和”的数组ans[N]。 


B.  深度优先搜索方法： 

     search(n) {          for(i = n; i <= 9; i++) {              sum += A;        //求和              如果sum在ans数组中不存在，则将sum插入到ans[]数组中              search(n+1);              sum -= A;         //回溯          } } 

C. 最后对于输入n，就在ans数组中查找是否存在n，如果存在，则表示n可以表示成不同的阶乘和，否则不行。