【算法导论】最小生成树（prim算法）

一，定义：

        没有权值时：一个有n个节点的联通图，生成树是，极小联通子图。包含图中所有节点，且有保持图联通的最少的边。

        边有权值时：无向联通图G=(V,E)，权值函数，w:E->R。找到G的一棵最小生成树，使得 w(T)最小。w(T)为最小生成树所有边权值和。

二，prime算法

        1:初始化:U={u 0},TE={f}。 节点集U=0，边集TE=NULL，

　          2:在所有u∈U, v∈V－U的边 (u,v)∈E中,找一条权最小的边(u 0,v 0)，将此边加进集合TE中，并将此边的非U中顶点加入U中。

　    3:如果U=V,则算法结束;否则重复步骤2。

       说明：步骤2共执行了n－1次(设n为图中顶点的数目),TE中也增加了n－1条边,这n－1条边就是需要求出的最小生成树的边。

三，源码

#include"stdio.h"#include"malloc.h"#define MaxSize 10#define MaxNumber  999999/*prim就是用 邻接矩阵存储的*//*这里是无向图*/typedef struct MGraph//{char vertex[MaxSize];int arc[MaxSize][MaxSize];int vertexNum,arcNum;//顶点数 边数 }MGraph,*M;                   //顶点     顶点数  边数 void CreateMGraph(MGraph *G,char ver[],int n,int e)//创建图 {G->vertexNum=n;G->arcNum=e;int i,j;int ver1,ver2;for(i=0;i<G->vertexNum;i++)    {    G->vertex[i]=ver[i];        //printf("%5c\n",G.vertex[i]);    }           for(i=0;i<G->vertexNum;i++)       for(j=0;j<G->vertexNum;j++)           G->arc[i][j]=MaxNumber;//初始化数组 以后有边的 赋值           for(i=0;i<G->arcNum;i++) {/*注意输入时 不要超过数组的下标 从0开始*/ printf("please input the edge of two vertex\n"); scanf("%d%d",&ver1,&ver2); G->arc[ver1][ver2]=1; G->arc[ver2][ver1]=1;  }  //printf("%d\n",G.vertexNum);}void outPut(MGraph *G){   int i,j;  //printf("%d",G->vertexNum);for(i=0;i<G->vertexNum;i++)   printf("%8c",G->vertex[i]);        printf("\n");    for(i=0;i<G->vertexNum;i++){for(j=0;j<G->vertexNum;j++)    {    printf("%8d",G->arc[i][j]);    } printf("\n");}  } int MinEdge(int lowcost[],int n)//如果 不可达的边赋值为0  肯定出错 应该赋值为无穷 MaxNumber                                 //这里要返回的是下标 而不是最小值 {int i=0;while(lowcost[i]==0)     ++i;int min=lowcost[i];int min_n=i;for(int j=i;j<n;j++)   if(lowcost[j]!=0&&lowcost[j]<min)          {         min=lowcost[j];         min_n=j;         }     //printf("sssssss%d\n",min);    return min_n;    //return min;}void prim(MGraph *G){int i,j,k;int lowcost[G->vertexNum];//lowcost[k]记录顶点 k 到已经加入最小生成子树 的权值int adjvex[G->vertexNum];  //printf("%d\n",G->vertexNum);for(i=1;i<G->vertexNum;++i)//这里 i 是从 1开始 {lowcost[i]=G->arc[0][i];  //初始化 U中只有 0这个顶点 让 lowcost 数组存放 0到各个顶点权值                                   //其实  lowcost 数组 存放没有并入 U 中的点  到U 中最小权值，adjvex 则对应 该顶点 adjvex[i]=0; //顶点 i 到 U中边中最小权值的 顶点 }lowcost[0]=0;for(i=1;i<G->vertexNum;++i){k=MinEdge(lowcost,G->vertexNum);//在lowcost[]数组中寻找最短的边printf("<%d,%d>--$:%d\n",k,adjvex[k],lowcost[k]); //输出加入到 U 中的边 lowcost[k]=0;  //将顶点k 加入集合Ufor(j=1;j<G->vertexNum;++j){if(G->arc[k][j]<lowcost[j]){lowcost[j]=G->arc[k][j];adjvex[j]=k;}}  }}/*思考过程： 0 先在U 内 lowcost 为 V-U  内点到 0 cost             选中到 0 cost最小的 k,并通过lowcost[k]=0使得k加入 U,比较V-U 到0  跟到 k cost 取小放入 lowcost 再选l 使得 V-U  中到 U 中最小边  ,l加入U， 让 V-U中其余点到(U-l)cost 跟 到 l cost 比较  取小的放入 lowcost  综上，lowcost 存放的是 V-U 的所有点 到 U的 最小权值。其中 lowcost=0表示加入U 查找最小值时，不再搜索  求最小生成树，就是寻找分割的两部分之间的 最小权值的边。  */int main(){MGraph *graph=(MGraph*)malloc(sizeof(MGraph));char ver[4]={'a','b','c'};int n=3;//顶点数int e=2; //graph->vertexNum=n;//这个必须加上    // printf("%d\n",graph->vertexNum); CreateMGraph(graph,ver,n,e);    // printf("%d\n",graph->vertexNum);outPut(graph);prim(graph);}