【算法导论】最小生成树（prim算法）

一，定义：

        没有权值时：一个有n个节点的联通图，生成树是，极小联通子图。包含图中所有节点，且有保持图联通的最少的边。

        边有权值时：无向联通图G=(V,E)，权值函数，w:E->R。找到G的一棵最小生成树，使得 w(T)最小。w(T)为最小生成树所有边权值和。

二，prime算法

       1:初始化:U={u 0},TE={f}。 节点集U=0，边集TE=NULL，

　   2:在所有u∈U, v∈V－U的边 (u,v)∈E中,找一条权最小的边(u 0,v 0)，将此边加进集合TE中，并将此边的非U中顶点加入U中。

　   3:如果U=V,则算法结束;否则重复步骤2。

       说明：步骤2共执行了n－1次(设n为图中顶点的数目),TE中也增加了n－1条边,这n－1条边就是需要求出的最小生成树的边。

三，源码

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1. #include"stdio.h" 
2. #include"malloc.h" 
3. #define MaxSize 10 
4. #define MaxNumber  999999 
5. /*prim就是用 邻接矩阵存储的*/ 
6. /*这里是无向图*/ 
7. typedef struct MGraph// 
8. { 
9.     char vertex[MaxSize]; 
10.     int arc[MaxSize][MaxSize]; 
11.     int vertexNum,arcNum;//顶点数 边数  
12. }MGraph,*M;  
13.                   //顶点     顶点数  边数  
14. void CreateMGraph(MGraph *G,char ver[],int n,int e)//创建树  
15. { 
16.     G->vertexNum=n; 
17.     G->arcNum=e; 
18.     int i,j; 
19.     int ver1,ver2;   
20.      
21.     for(i=0;i<G->vertexNum;i++) 
22.         { 
23.             G->vertex[i]=ver[i];  
24.             //printf("%5c\n",G.vertex[i]); 
25.         }  
26.                   
27.     for(i=0;i<G->vertexNum;i++) 
28.        for(j=0;j<G->vertexNum;j++) 
29.            G->arc[i][j]=MaxNumber;//初始化数组 以后有边的 赋值 
30.             
31.     for(i=0;i<G->arcNum;i++) 
32.      {/*注意输入时 不要超过数组的下标 从0开始*/ 
33.         printf("please input the edge of two vertex\n"); 
34.         scanf("%d%d",&ver1,&ver2); 
35.         G->arc[ver1][ver2]=1; 
36.         G->arc[ver2][ver1]=1; 
37.      }   
38.      //printf("%d\n",G.vertexNum); 
39. } 
40. void outPut(MGraph *G) 
41. {   int i,j; 
42.  
43.   //printf("%d",G->vertexNum); 
44.      
45.     for(i=0;i<G->vertexNum;i++) 
46.        printf("%8c",G->vertex[i]); 
47.      
48.     printf("\n"); 
49.      
50.     for(i=0;i<G->vertexNum;i++) 
51.     { 
52.         for(j=0;j<G->vertexNum;j++) 
53.         { 
54.             printf("%8d",G->arc[i][j]); 
55.         }  
56.         printf("\n"); 
57.     }   
58.      
59. }  
60. int MinEdge(int lowcost[],int n)//如果 不可达的边赋值为0  肯定出错 应该赋值为无穷 MaxNumber  
61.                                 //这里要返回的是下标 而不是最小值  
62. { 
63.     int i=0; 
64.     while(lowcost[i]==0) 
65.          ++i; 
66.     int min=lowcost[i]; 
67.     int min_n=i; 
68.      
69.     for(int j=i;j<n;j++) 
70.        if(lowcost[j]!=0&&lowcost[j]<min)  
71.              { 
72.                 min=lowcost[j]; 
73.                 min_n=j; 
74.             }  
75.     //printf("sssssss%d\n",min); 
76.     return min_n; 
77.     //return min; 
78. } 
79. void prim(MGraph *G) 
80. { 
81.     int i,j,k; 
82.     int lowcost[G->vertexNum];//lowcost[k]记录顶点 k 到已经加入最小生成子树 的权值 
83.     int adjvex[G->vertexNum];  
84.      //printf("%d\n",G->vertexNum); 
85.     for(i=1;i<G->vertexNum;++i)//这里 i 是从 1开始  
86.     { 
87.         lowcost[i]=G->arc[0][i];  //初始化 U中只有 0这个顶点 让 lowcost 数组存放 0到各个顶点权值  
88.                                   //其实  lowcost 数组 存放没有并入 U 中的点  到U 中最小权值，adjvex 则对应 该顶点  
89.         adjvex[i]=0; //顶点 i 到 U中边中最小权值的 顶点  
90.     } 
91.     lowcost[0]=0; 
92.      
93.     for(i=1;i<G->vertexNum;++i) 
94.     { 
95.         k=MinEdge(lowcost,G->vertexNum);//在lowcost[]数组中寻找最短的边 
96.         printf("<%d,%d>--$:%d\n",k,adjvex[k],lowcost[k]); //输出加入到 U 中的边  
97.         lowcost[k]=0;  //将顶点k 加入集合U 
98.          
99.         for(j=1;j<G->vertexNum;++j) 
100.         { 
101.             if(G->arc[k][j]<lowcost[j]) 
102.             { 
103.                 lowcost[j]=G->arc[k][j]; 
104.                 adjvex[j]=k; 
105.             } 
106.         }  
107.           
108.     } 
109. } 
110. /*思考过程： 0 先在U 内 lowcost 为 V-U  内点到 0 cost 
111.              选中到 0 cost最小的 k,并通过lowcost[k]=0使得k加入 U,比较V-U 到0  跟到 k cost 取小放入 lowcost 
112.              再选l 使得 V-U  中到 U 中最小边  ,l加入U， 让 V-U中其余点到(U-l)cost 跟 到 l cost 比较  取小的放入 lowcost 
113.               
114.              综上，lowcost 存放的是 V-U 的所有点 到 U的 最小权值。其中 lowcost=0表示加入U 查找最小值时，不再搜索  
115.              求最小生成树，就是寻找分割的两部分之间的 最小权值的边。  
116. */ 
117. int main() 
118. { 
119.     MGraph *graph=(MGraph*)malloc(sizeof(MGraph)); 
120.      
121.      
122.     char ver[4]={'a','b','c'}; 
123.     int n=3;//顶点数 
124.     int e=2;  
125.      
126.     //graph->vertexNum=n;//这个必须加上  
127.    // printf("%d\n",graph->vertexNum); 
128.           
129.     CreateMGraph(graph,ver,n,e);  
130.      
131.    // printf("%d\n",graph->vertexNum); 
132.      
133.     outPut(graph); 
134.     prim(graph); 
135.      
136. }  

#include"stdio.h"#include"malloc.h"#define MaxSize 10#define MaxNumber 999999/*prim就是用 邻接矩阵存储的*//*这里是无向图*/typedef struct MGraph//{char vertex[MaxSize];int arc[MaxSize][MaxSize];int vertexNum,arcNum;//顶点数 边数 }MGraph,*M; //顶点 顶点数 边数 void CreateMGraph(MGraph *G,char ver[],int n,int e)//创建树 {G->vertexNum=n;G->arcNum=e;int i,j;int ver1,ver2;for(i=0;i<G->vertexNum;i++) { G->vertex[i]=ver[i]; //printf("%5c\n",G.vertex[i]); } for(i=0;i<G->vertexNum;i++) for(j=0;j<G->vertexNum;j++) G->arc[i][j]=MaxNumber;//初始化数组 以后有边的 赋值 for(i=0;i<G->arcNum;i++) {/*注意输入时 不要超过数组的下标 从0开始*/ printf("please input the edge of two vertex\n"); scanf("%d%d",&ver1,&ver2); G->arc[ver1][ver2]=1; G->arc[ver2][ver1]=1; } //printf("%d\n",G.vertexNum);}void outPut(MGraph *G){ int i,j; //printf("%d",G->vertexNum);for(i=0;i<G->vertexNum;i++) printf("%8c",G->vertex[i]); printf("\n"); for(i=0;i<G->vertexNum;i++){for(j=0;j<G->vertexNum;j++) { printf("%8d",G->arc[i][j]); } printf("\n");} } int MinEdge(int lowcost[],int n)//如果 不可达的边赋值为0 肯定出错 应该赋值为无穷 MaxNumber //这里要返回的是下标 而不是最小值 {int i=0;while(lowcost[i]==0) ++i;int min=lowcost[i];int min_n=i;for(int j=i;j<n;j++) if(lowcost[j]!=0&&lowcost[j]<min) { min=lowcost[j]; min_n=j; } //printf("sssssss%d\n",min); return min_n; //return min;}void prim(MGraph *G){int i,j,k;int lowcost[G->vertexNum];//lowcost[k]记录顶点 k 到已经加入最小生成子树 的权值int adjvex[G->vertexNum]; //printf("%d\n",G->vertexNum);for(i=1;i<G->vertexNum;++i)//这里 i 是从 1开始 {lowcost[i]=G->arc[0][i]; //初始化 U中只有 0这个顶点 让 lowcost 数组存放 0到各个顶点权值 //其实 lowcost 数组 存放没有并入 U 中的点 到U 中最小权值，adjvex 则对应 该顶点 adjvex[i]=0; //顶点 i 到 U中边中最小权值的 顶点 }lowcost[0]=0;for(i=1;i<G->vertexNum;++i){k=MinEdge(lowcost,G->vertexNum);//在lowcost[]数组中寻找最短的边printf("<%d,%d>--$:%d\n",k,adjvex[k],lowcost[k]); //输出加入到 U 中的边 lowcost[k]=0; //将顶点k 加入集合Ufor(j=1;j<G->vertexNum;++j){if(G->arc[k][j]<lowcost[j]){lowcost[j]=G->arc[k][j];adjvex[j]=k;}} }}/*思考过程： 0 先在U 内 lowcost 为 V-U 内点到 0 cost 选中到 0 cost最小的 k,并通过lowcost[k]=0使得k加入 U,比较V-U 到0 跟到 k cost 取小放入 lowcost 再选l 使得 V-U 中到 U 中最小边 ,l加入U， 让 V-U中其余点到(U-l)cost 跟 到 l cost 比较 取小的放入 lowcost 综上，lowcost 存放的是 V-U 的所有点 到 U的 最小权值。其中 lowcost=0表示加入U 查找最小值时，不再搜索 求最小生成树，就是寻找分割的两部分之间的 最小权值的边。 */int main(){MGraph *graph=(MGraph*)malloc(sizeof(MGraph));char ver[4]={'a','b','c'};int n=3;//顶点数int e=2; //graph->vertexNum=n;//这个必须加上 // printf("%d\n",graph->vertexNum); CreateMGraph(graph,ver,n,e); // printf("%d\n",graph->vertexNum);outPut(graph);prim(graph);}