算法系列之一 ：Google方程式

 

算法系列之一 ： Google方程式

 

    有一个字符组成的等式：WWWDOT - GOOGLE = DOTCOM，每个字符代表一个0－9之间的数字，WWWDOT、GOOGLE和DOTCOM都是合法的数字，不能以0开头。请找出一组字符和数字的对应关系，使它们互相替换，并且替换后的数字能够满足等式。这个字符等式是Google公司能力倾向测试实验室的一道题目，这种题目主要考察人的逻辑推导能力和短期记忆能力，通常棋下的好的人解决这类问题会更得心应手一些（飞行棋例外）。此类型的题目有很多变种，各种编程比赛中常常能见到它们的身影。比如2005年的GOOGLE中国编程挑战赛第二轮淘汰赛有一道名为“SecretSum”的500分的竞赛题，与本题如出一辙，只不过字母都是三个，而且用的是加法计算。现在言归正传，先看看如何分析这个问题。

 

以人的思维方式分析问题

 

将横式改成竖式可能更直观一些：

根据以上竖式减法，从左向右依次可以得到6个算式，分别是：

 W – G = D                     （算式 1）

W – O = O                     （算式 2）

W – O = T                     （算式 3）

D – G = C                     （算式 4）

O – L = O                      （算式 5）

T – E = M                      （算式 6）

 根据以上6个算式可以分析出两个关键信息：一个是W要足够大，因为考虑到它可能被借位的情况还要等于G和D的和；另一个则是本问题的突破口，就是算式2和算式3两次出现的W – O计算。现在分析算式2和算式3，根据是否需要借位，算式2和算式3一共有四种借位组合结果，下面分别对这四种借位组合结果进行分析。

  

1.      W – O = T不需要借位，W – O = O也不需要借位

 

     由于W – O = T和W – O = O都不需要借位，则可由算式2变形得到算式1.1：

 W = 2O                      （算式1.1）

将算式1.1带入算式3，又可以得到算式1.2:

 O = T                        （算式 1.2）

 

 根据算式1.2，O和T代表的数字是同一个数字，这与题目要求不符，因此，这种借位组合不能得到正确的结果。

 

2.      W – O = T需要借位，W – O = O不需要借位

 

     根据借位情况，对算式2和算式3进行借位修正，得到两个修正算式：

 W – 1 – O = O                （算式2.1）

W + 10 – O = T               （算式2.2）

 由算式2.1变形得到算式2.3：

 W = 2O + 1                  （算式2.3）

 将算式2.3带入算式2.2可以得到算式2.4：

 T = O + 11                    (算式2.4)

 

 对算式2.3分析，由于W是个位数，最大值是9，所以O的取值只能是1－4，但是无论如何，由算式2.4计算出的T都超过9，这与题目要求不符，因此，这种情况也是无解的情况。

 

3.      W – O = T不需要借位，W – O = O需要借位

 

    根据借位情况，对算式2和算式3进行借位修正，得到两个修正算式：

 W + 10 – O = O               （算式3.1）

W – O = T                   （算式3.2）

 由算式3.1变形得到算式3.3：

 W = 2O - 10                 （算式3.3）

 将算式3.3带入算式3.2由可得到算式3.4：

 O – 10 = T                  （算式3.4）

 

 O显然是不能比10大的个位数，因此，这种情况也是无解的情况

 

 4.      W – O = T需要借位，W – O = O也需要借位

 

    根据借位情况，对算式2和算式3进行借位修正，得到两个修正算式：

 W – 1 + 10 – O = O            （算式4.1）

W + 10 – O = T               （算式4.2）

 由算式4.1变形得到算式4.3：

 W = 2O - 9                   （算式4.3）

 将算式4.3代入算式4.2得到算式4.4：

 O + 1 = T                    （算式4.4）

 

由于W不能小于0，因此，根据算式4.3，O的取值最小为5。根据算式4.4继续分析，因为T不能大于9，因此O的最大值只能取值为8。根据O的取值区间[5,8]，可依次计算出W和T的值，如下表所示：

 

O

W

T

5

1

6

6

3

7

7

5

8

8

7

9

 

已知O、W、T的取值，可以进一步推算其他字符代表的数字，上表中得到了四组目前合法的取值，但是并不是四组取值都能最终推算出正确的结果，本题的答案只有一个，也就是说只有一组O、W、T的取值是正确的，下面就分别进行分析。

 

            O = 5, W = 1, T = 7

 

在这种情况下，考察算式1：W – G = D，W = 1显然无法满足此种情况，更何况算式2： W – O = O还要从它这里借位，因此，这种情况无解。

 

            O = 6, W = 3, T = 7

 

在这种情况下，算式2： W – O = O还要从它这里借位，因此算式1：W – G = D对应的实际情况是2 – G = D，G和D不能同时为1，而且G和D都是第一位数字，不能是0，因此无法满足算式1，这种情况也是无解。

 

            O = 7, W = 5, T = 8

 

在这种情况下，需要考察另另外两个关键算式，分别是算式5和算式6。根据这两个算式是否需要借位进行不同的假设，根据组合，仍然有四种假设，下面分别分析这四种假设：

 

假设一：算式5需要借位，算式6不需要借位。则此时算式5可修正为O + 10 – L = O，推算出L = 10，显然不符合题意，假设一不成立；

 

假设二：算式5需要借位，算式6需要借位，则算式5和算式6应该修正为算式4.3.1和算式4.3.2：

 

O -1 + 10 – L = O                   （算式4.3.1）

T + 10 – E = M                     （算式4.3.2）

 

因为已知T=8，带入4.3.2可得E+M=18，显然对于两个不相同的个位数无法满足这个等式，因此假设二也不成立；

 

假设三：算式5不需要借位，算式6不需要借位，此时根据算式6可知E和M的和是8（T=8），排除E=M=4的情况后，E和M的组合可以是(1,7)、(2,6)和(3,5)，又因为数字5和7分别被W和O使用，因此E和M只能是2或6。再回头来看算式1，因为算式2需要借位，算式1实际相当于G + D = 4，G和D只能取值1和3，若G=1，D=3，则根据算式4计算出C＝2，这与E或M矛盾。若G=3，D=1，则算式4需要借位，这又与算式3的假设矛盾。由此看来，假设三也不能得到正确的结果；

 

假设四：算式5不需要借位，算式6需要借位，此时根据算式5被修正为O – 1 – L = O，这种情况下也是无解的。

 

            O = 8, W = 7, T = 9

 

在这种情况下，根据算式5和算式6是否借位的假设，仍然有四种假设，下面分别分析这四种假设：

 

假设一：算式5需要借位，算式6不需要借位。则此时算式5可修正为O + 10 – L = O，推算出L = 10，显然不符合题意，假设一不成立；

 

假设二：算式5需要借位，算式6需要借位，则算式5和算式6应该修正为算式4.4.1和算式4.4.2：

 

O -1 + 10 – L = O                   （算式4.4.1）

T + 10 – E = M                     （算式4.4.2）

 

因为已知T=9，带入4.4.2可得E+M=19，两个不同的个位数的和不可能大于18，因此假设二也不成立；

 

假设三：算式5不需要借位，算式6不需要借位，此时根据算式6可知E和M的和是9（T=9），E和M的组合可以是(1,8)、(2,7) 、(4,5)和(3,6)，又因为数字8和7分别被O和W使用，因此E和M只能是(4,5)和(3,6)。进一步假设E＝4，M=5（反过来E＝5，M=4是一样的，不影响分析）。再看算式1，因为算式2需要借位，算式1实际相当于G + D = 6，由于M或E是5，所以G和D只能取值2和4。若G=2，D=4，则根据算式4计算出C＝2，这与G＝2矛盾。若G=4，D=2，则算式4需要借位，这又与算式3的假设矛盾，因此E＝4，M=5的情况无解。再次进一步假设E＝3，M=6（反过来E＝6，M=3是一样的，不影响分析）。同样再看算式1，G和D的值可取是(2,4)和(1,5)，G和D取值1和2的情况刚刚分析过无解，因此G和D的取值只能是1和5，前面分析过，算式4没有借位，也就是说要保证D > G，因此，D＝5，G=1，根据算式4计算出C＝4，这样就得到了一组解：O = 8，W = 7，T = 9，D = 5，L = 0， G = 1，C = 4，E = 3/6，M = 6/3。最终的等式是：

 

777589 - 188103 = 589486

或

777589 - 188106 = 589483

 

假设四：算式5不需要借位，算式6需要借位，此时根据算式5被修正为O – 1 – L = O，这种情况下也是无解的。

 

完整的分析过程结束，得到了一组答案，事实上通过计算机穷举算法也只能得到这一组结果，下面就看看如何用计算机算法求解本题的答案。

 

用计算机穷举所有的解

 

    以上是用人的思维方式的解题过程，如果方法正确，加上运气好（三次假设都是正确的，避免在错误分支上浪费时间），两分钟内就可得到结果。但是考虑到更通用的情况，字母数字没有规律，也没有可供分析的入手点和线索，比如：

    AAB – BBC = CCD

这样的问题，该什么方法解决呢？只能“猜想”，用穷举的方法试探每一种猜想，对每个字母和数字穷举所有可能的组合，直到得到正确的结果。当然，这样的力气活交给计算机做是最合适不过了。

 

1.      建立数学模型

 

    要想让计算机解决问题，就要让计算机能够理解题目，这就需要建立一个计算机能够识别、处理的数学模型，首先要解决的问题就是建立字母和数字的映射关系的数学模型。本题的数学模型很简单，就是一个字母二元组：{char, number}。考察等式：

 

WWWDOT - GOOGLE = DOTCOM

 

共出现了9个不同的字母：W、D、O、T、G、L、E、C和M，因此，最终的解应该是9个字母对应的字母二元组向量：[ {'W', 7}, {'D', 5}, {'O', 8}, {'T', 9}, {'G', 1}, {'L', 0}, {'E', 3}, {'C', 4}, {'M', 6} ]。穷举算法就是对这个字母二元组向量中每个字母二元组的number元素进行穷举，number的穷举范围就是0－9共10个数字，当然，根据题目要求，有一些字符不能为0，比如W、G和D。排列组合问题的穷举多使用多重循环，看样子这个穷举算法应该是9重循环了，在每层循环中对一个字母进行从0到9遍历。问题是，必须这样吗，对于更通用的情况，不是9个字母的问题怎么办？首先思考一下是否每次都要遍历0－9。题目要求每个字母代表一个数字，而且不重复，很显然，对每个字母进行的并不是排列，而是某种形式的组合，举个例子，就是如果W字母占用了数字7，那么其它字母就肯定不是7，所以对D字母遍历是就可以跳过7。进一步，假设某次遍历的字母二元组向量中除M字母外其它8个字母已经有对应的数字了，比如：

 

[ {'W', 7}, {'D', 5}, {'O', 8}, {'T', 9}, {'G', 1}, {'L', 0}, {'E', 3}, {'C', 4}, {'M', ?} ] （序列－1）

 

那么M的可选范围就只有2和6，显然没必要使用9重循环。

 

现在换一种想法，对9个二元组的向量进行遍历，可以分解为两个步骤，首先确定第一个二元组的值，然后对剩下的8个二元组进行遍历。显然这是一种递归的思想（分治），算法很简单，但是要对10个数字的使用情况进行标识，对剩下的二元组进行遍历时只使用没有占用标识的数字。因此还需要一个标识数字占用情况的数字二元组定义，这个二元组可以这样定义：{number, using}，0－9共有10个数字，因此需要维护一个长度为10的数字二元组向量。数字二元组向量的初始值是：

 

[{0, false}, {1, false},{2, false},{3, false},{4, false},{5, false},{6, false},{7, false},{8, false},{9, false}] （序列－2）

 

每进行一重递归就有一个数字的using标志被置为true，当字母二元组向量得到（序列－1）的结果时，对应的数字二元组向量的值应该是：

 

[{0, true}, {1, true},{2, false},{3, true},{4, true},{5, true},{6, false},{7, true},{8, true},{9, true}] （序列－3）

 

此时遍历这个数字二元组向量就可以知道M字母的可选值只能是2或6。

 

穷举遍历的结束条件是每层递归中遍历完所有using标志是false的数字，最外一层遍历完所有using标志是false的数字就结束了算法。

 

根据题目要求，开始位置的数字不能是0，也就是W、G和D这三个字母不能是0，这是一个“剪枝”条件，要利用起来，因此，对字母二元组进行扩充成字母三元组，添加一个leading标志：{char, number, leading}。下面就是这个数学模型的C语言定义：

    4 typedef struct

    5 {

    6   char c;

    7   int value;

    8     bool leading;

    9 }CharItem;

   10 

   11 typedef struct

   12 {

   13     bool used;

   14   int value;

   15 }CharValue;

 根据此数学模型初始化字母三元组和数字二元组向量：

   29 

   30     CharItem char_item[max_char_count] =

   31         {

   32           { 'W', -1, true  }, { 'D', -1, true  }, { 'O', -1, false },

   33           { 'T', -1, false }, { 'G', -1, true  }, { 'L', -1, false },

   34           { 'E', -1, false }, { 'C', -1, false }, { 'M', -1, false }

   35         };

   36 

   37     CharValue char_val[max_number_count] =

   38         {

   39           {false, 0}, {false, 1}, {false, 2}, {false, 3},

   40           {false, 4}, {false, 5}, {false, 6}, {false, 7},

   41           {false, 8}, {false, 9}

   42         };

   43 

2.      穷举算法

     建立数学模型，其实就是为了让计算机理解题目并处理相关的数据，算法就是告诉计算机如何使用这些模型中的数据。本文介绍的是穷举算法，算法的核心其实前面已经提到了，就是穷举所有的字母和数字的组合，对每种组合进行合法性判断，如果是合法的组合，就输出结果。

整个算法的核心是SearchingResult()函数，其实这个函数非常简单：

   54 

   55 void SearchingResult(CharItem ci[max_char_count],

   56                      CharValue cv[max_number_count],

   57                      int index, CharListReadyFuncPtr callback)

   58 {

   59     if(index == max_char_count)

   60     {

   61         callback(ci);

   62         return;

   63     }

   64 

   65     for(int i = 0; i < max_number_count; ++i)

   66     {

   67         if(IsValueValid(ci[index], cv[i]))

   68         {

   69             cv[i].used = true;/*set used sign*/

   70             ci[index].value = cv[i].value;

   71             SearchingResult(ci, cv, index + 1, callback);

   72             cv[i].used = false;/*clear used sign*/

   73         }

   74     }

   75 }

   76 

 SearchingResult()函数有四个参数，ci就是存储遍历结果的字母三元组向量，cv是存储遍历过程中数字占用情况的数字二元组向量，index是当前处理的字母三元组在字母三元组向量中的位置索引，0表示第一个字母三元组。callback是一个回调函数，当ci中所有三元组都分配了数字，就调用callback对这组解进行判断，如果满足算式就输出结果。SearchingResult()函数的代码分两部分，前一部分是结束条件判断和结果输出，后一部分是算法的关键。算法就是遍历cv中的所有数字二元组，对于每一个可用的数字（当前没有被占用，并且满足第一个数字不是0的要求），首先设置占用标志，然后将当前字母三元组的值与这个数字的值绑定，最后递归处理下一个字母三元组。

SearchingResult()函数是一个通用过程，负责字母和数字的组合，回调函数(callback)负责根据题目要求对SearchingResult()函数得到的字母和数字的组合进行筛选，只输出正确的组合。对于本题，回调函数可以这样实现：

    6 

    7 void OnCharListReady(CharItem ci[max_char_count])

    8 {

    9     char *minuend    = "WWWDOT";

   10     char *subtrahend = "GOOGLE";

   11     char *diff       = "DOTCOM";

   12 

   13     int m = MakeIntegerValue(ci, minuend);

   14     int s = MakeIntegerValue(ci, subtrahend);

   15     int d = MakeIntegerValue(ci, diff);

   16     if((m - s) == d)

   17     {

   18         std::cout << m << " - " << s << " = " << d << std::endl;

   19     }

   20 }

   21 

 

3.      结果验证

 根据char_item和char_val的初始数据，求解本题的Google方程式：

 

SearchingResult(char_item, char_val, 0, OnCharListReady);

 

穷举算法可以得到两个结果（M和E可以互换）：

 

777589 - 188103 = 589486

777589 - 188106 = 589483

 

由于算法具有通用性，对于前文例子中的等式：

 

AAB – BBC = CCD

 

只需要构造新的字母三元组向量，并修改回调函数的过滤数据即可。新的字母三元组可按照如下方式构造：

   33 

   34     CharItem char_item[max_char_count] = { {'A', -1, true}, {'B', -1, true}, {'C', -1, true},

   35                                            {'D', -1, false} };

   36 

 回调函数与前文的OnCharListReady()函数类似，此处不再列出。根据新的字符三元组和回调函数运行算法，可以得到13组结果：

 

443 - 331 = 112

553 - 332 = 221

554 - 441 = 113

665 - 551 = 114

774 - 443 = 331

775 - 552 = 223

776 - 661 = 115

885 - 553 = 332

886 - 662 = 224

887 - 771 = 116

995 - 554 = 441

997 - 772 = 225

998 - 881 = 117

 

对于加法、乘法和除法算式，同样只要使用不用的回调函数进行结果判断即可，不需要修改SearchingResult()函数，例如加法算式：

 

ABC + ABC = BCE

 

可以得到5组结果：

124 + 124 = 248

125 + 125 = 250

249 + 249 = 498

374 + 374 = 748

375 + 375 = 750

 

 

完整的实现代码请点击这里查看