矩陣分析-基礎-常見矩陣
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單位陣(Identity Matrix)
定義:單位陣是對角元素為1,其它元素為0的方陣。
,也可表示為In = diag(1,1,...,1)
性質:
AIn = A 且 InB = B
對稱陣(symmetric matrix)
定義:對稱陣為其轉置和自身相等的方陣,即元素以主對角線((
斜對稱陣(skew-symmetric matrix)
定義:對稱陣為其轉置和自身加法逆相等的方陣,AT = − A。
性質:
- 1)斜對稱矩陣自身相乘的積是對稱矩陣。
- 2)任意矩陣A,AT − A是斜對稱矩陣。
- 3)若A是斜對稱矩陣,x是向量,xTAx = 0
- 4)斜對稱矩陣的主對角線元素必是零,所以其跡數為零。
初等矩陣(Elementary Matrix)
接近問題時,常將復雜問題分解為一些基礎模塊。
定義:一個 n 階單位矩陣 E
初等矩陣分為3種類型,分別對應著3種不同的行/列變換。
- 1)類型1,互換行/列: 。如下互換第i,j行
- 2)類型2,把某行/列乘以一非零常數: 其中
- 3)類型3,把第 i 行(列)加上第 j 行(列)的 k
倍:
性質:
- 1);| Tij | = − 1; | TijA | = − | A | 。
- 2),此矩陣及其逆矩陣均為對角矩陣;|Ti(m) | = m, | Ti(m)A | = m | A | 。
- 3) Tij(m) − 1 = Tij( − m),此矩陣及其逆矩陣均為三角矩陣;| Tij(m) | = 1, | Tij(m)A | = | A | 。
- 2),此矩陣及其逆矩陣均為對角矩陣;|Ti(m) | = m, | Ti(m)A | = m | A | 。
作用:左乘初等矩陣相當於對矩陣行進行初等變換;
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