【Catalan数】【同余】【SCOI2010】字符串

【题目描述】lxhgww最近接到了一个生成字符串的任务，任务需要他把n个1和m个0组成字符串，但是任务还要求在组成的字符串中，在任意的前k个字符中，1的个数不能少于0的个数。现在lxhgww想要知道满足要求的字符串共有多少个，聪明的程序员们，你们能帮助他吗？【输入】输入数据是一行，包括2个数字n和m【输出】输出数据是一行，包括1个数字，表示满足要求的字符串数目，这个数可能会很大，只需输出这个数除以20100403的余数【样例输入】2 2【样例输出】2【数据范围】对于30%的数据，保证1<=m<=n<=1000对于100%的数据，保证1<=m<=n<=1000000

此题考察Catalan数的应用以及分数求模运算。

如图所示，证明此问题的解为：
           ╭ m        ╭ m - 1
f(n, m) =  │        - │
           ╰ n + m    ╰ n + m
           (n - m + 1) (n + m)!
        = ───────────
               (n + 1)!  m!
                            ╭ m
首先，n个1，m个0自由组合，有│       种。
                            ╰ n + m

接下来可作如下转化：
将每个1对应坐标变换(1, 1)，每个0对应坐标变换(1, -1)。
可行的方案为：从(0, 0)通过以上两种坐标变换达到(n + m, n - m)，但不能向下越过x轴。
对于不可行的方案总数，如图所示，由于每个不可行的方案必定经过直线y = -1，所以将线路与y = -1最左边的交点向左的部分
沿直线y = -1向下翻折，则不可行的方案总数就变成了：
求从从(0, -2)通过以上两种坐标变换达到(n + m, n - m)的方案总数，即：
╭ m - 1
│       。
╰ n + m

令MOD = 20100403，则原问题的解为：
         (n - m + 1) (n + m)!
 ans ≡ ─────────── (mod MOD)
             (n + 1)!  m!
由分数取模的定义，可得：
            (n - m + 1) (n + m)!
 m! ans ≡ ─────────── (mod MOD)
                  (n + 1)!
算出右式，并在[0, MOD)范围内枚举ans，
再输出满足条件的ans的值即可。

另：由费马小定理，可得：

         (n - m + 1) (n + m)!
 ans ≡ ─────────── ·(m!)^(MOD - 2)  (mod MOD)
               (n + 1)!

Accode：

#include <fstream>int main(){    std::ifstream fin("string.in");    std::ofstream fout("string.out");    typedef long long int64;    const int64 MOD = 20100403;int64 n, m, ans;fin >> n >> m;int64 numer = n - m + 1;for (int64 i = n + 2; i < n + m + 1; ++i)        (numer *= i) %= MOD;    int64 denom = 1;    for (int64 i = 2; i < m + 1; ++i)        (denom *= i) %= MOD;    for (ans = 0; ans < MOD; ++ans)        if ((denom * ans) % MOD == numer)            break;    fout << ans << std::endl;    fin.close(); fout.close();return 0;}