同余

数论中的重要概念。给定一个正整数m,如果二整数α、b)满足m│α-b)(α-b)被m整除),就称整数α、b)对模m同余，记作α呏b)(mod m)。对模m同余是整数的一个等价关系。

同余符号

两个整数a，b，若它们除以整数m所得的余数相等，则称a与b对于模m同余或a同余于b模m

记作a ≡ b (mod m)

读作a同余于b模m，或读作a与b关于模m同余。

比如 26 ≡ 2 (mod 12)

【定义】设m是大于1的正整数,a,b是整数,如果m|(a-b),则称a与b关于模m同余,记作a≡b(mod m),读作a与b对模m同余.

显然,有如下事实

(1)若a≡0(mod m),则m|a;

(2)a≡b(mod m)等价于a与b分别用m去除,余数相同.

【证明】 充分性:设a=mq1+r1,b=mq2+r2,0<=r1,r2<m

∵ m|(a-b),a-b=m(q1-q2)+(r1-r2).

则有m|(r1-r2).

 

【证明】上述性质很容易证明,下面仅证明(3).

∵a≡b(mod m)∴m|(a-b) 同理m|(b-c),

∴m|[(a-b)+(b-c)]∴m|(a-c).

故a≡c(mod m).

4 线性运算如果a ≡ b (mod m)，c ≡ d (mod m),那么(1)a ± c ≡ b ± d (mod m)，(2)a * c ≡ b * d (mod m)

【证明】(1)∵a≡b(mod m),∴m|(a-b) 同理 m|(c-d)

∴m|[(a-b)±(c-d)] ∴m|[(a±c)-(b±d)]

∴a ± c ≡ b ± d (mod m)

(2)∵ac-bd=ac-bc+bc-bd=c(a-b)+b(c-d)

又 m|(a-b) , m|(c-d) ∴m|(ac-bd)

∴a * c ≡ b * d (mod m)

5 除法若ac ≡ bc (mod m) c!=0 则 a≡ b (mod m/(c,m)) 其中(c,m)表示c,m的最大公约数

特殊地 (c,m)=1 则a ≡ b (mod m)

6 乘方如果a ≡ b (mod m)，那么a^n ≡ b^n (mod m)

7 若a ≡ b (mod m)，n|m,则 a ≡ b (mod n)

8 若a ≡ b (mod mi） i=1,2...n 则 a ≡ b (mod [m1,m2,...mn]) 其中[m1,m2,...mn]表示m1,m2,...mn的最小公倍数

9 欧拉定理

设a,m∈N,(a,m)=1,则a^(φ(m))≡1(mod m)

(注:φ(m)指模m的简系个数， φ(m)=m-1, 如果m是素数；φ(m=q1^r1 * q2^r2 * ...*qi^ri)=m (1-1/q1)(1-1/q2)...(1-1/qi))

推论: 费马小定理: 若p为质数，则a^p ≡ a (mod p) 即a^(p-1) ≡ 1 (mod p)

（但是当p|a时不等价）

10 中国剩余定理

设整数m1,m2,m3,......,mn 两两互素，令m=m1m2m3m4m5...mn（mi的连乘）。则对于任意的J在（1,n)整数，下列联立的同余式有解：

{xj≡1(mod mj)

{xj≡0(mod mi) i不等于j

令x为从1到najxj的和，则x适合下列联立同余式

x≡aj（mod mj）, j=1,2,3,.....,n

另：求自然数a的个位数字，就是求a与哪一个一位数对于模10同余

相关定理

一次同余式和孙子定理　同余式的求解中，一次同余式是最基本的。设整系数n次(n>0)多项式ƒ(x)=αnx+…+α1x+α0,m是一个正整数且不能整除αn，则

  同余

(1)叫做模m 的n次同余式。如果整数 α是（1）的解且α≡α┡(mod m)，那么α┡也是(1)的解，因此,(1)的不同解是指满足(1)的模 m互不同余的数。对于一次同余式 αx≡b(mod m)有解的充分必要条件是(α,m)│b)，若有解则有(α,m)个解。一次同余式组是指

  同余

  同余

。 (2)

在中国古代《孙子算经》中，对某些具体的一次同余式组已有解法，把这一解法加以推广，就是著名的孙子剩余定理：设m1, m2,…, mk是k个两两互素的正整数

  同余

,

则同余式组(2)的解是

  同余

,

式中。孙子剩余定理又被称之为中国剩余定理，是数论中一个重要的定理，除了数论本身，数学的许多其他分支以及一些应用学科都要用到它。例如,设m=m1m2…mk，m1, m2,…,mk两两互素,利用孙子剩余定理可将同余式(1)的求解问题化为同余式组ƒ(x)≡0(mod mi)(i=1，2,…,k)的求解问题，于是就只需要研究(1)中m是素数方幂的情形了。又如,可将0≤x<m中的一切整数表示，这叫做模系数记数法,这里m=m1m2…mk，m1,m2,…,mk两两互素，而x吗示x模mi的最小非负剩余。

如果已知x的模系数记数法，就可用孙子定理找出x。这个记数法的优点是加法和乘法无须进位，它在计算机方面有应用。

素数为模的同余式 　关于素数为模的同余式，1770年，J.-L.拉格朗日证明了如下定理：设p是素数，那么模p的n次同余式的解数不大于 n（重解也计算在内）。人们称之为拉格朗日定理。由此立即可以得威尔森定理：如果 p是素数，那么(p-1)!+1≡0(mod p)。因为x-1≡0(mod p)有p-1个解1,…,p-1，故由拉格朗日定理可得

x^p-1-1≡(x-1)(x-2)…(x-(p-1))(mod p)，

将x=0代入上式得-1≡(-1)(p-1)!(mod p),这就证明了威尔森定理。威尔森定理的逆定理也是成立的，可用反证法简单证出。用拉格朗日定理还可证明：当p≥5是一个素数时,则有

  同余

。这个定理是1862年，由J.沃斯顿霍姆证明的。

设ƒ(x1,x2,…,xn)是n元整系数多项式,p是一个奇素数,对于同余式ƒ(x1,x2,…,xn) ≡0(mod p)的解(x1,x2,…,xn)(0≤xj<p,j=1,2,…,n)的个数N的研究，是数论的重要课题之一。

早在1801年，C.F.高斯就研究了同余式αx-b)y≡1(mod p)的解的个数，这里p≡1(mod 3)和同余式αx-b)y≡1(mod p)的解的个数，这里p≡1(mod 4)。

设ƒ(x)模 p无重因式，1924年，E.阿廷猜想同余式y≡ƒ(x)(mod p),在ƒ(x)的次数为3和4时,N分别满，1936年,H.哈塞证明了这一猜想,并且还证明了对于一般含q个元的有限域，把以上两式中p换成q，也是对的。1948年，韦伊对于一般的ƒ(x,y)=0在有限域上得到类似的结果, 他猜想对于ƒ(x1,x2,…,xn)=0也有类似的结果。1973年,P.德利涅证明了韦伊猜想。他的杰出工作获得了1978年的国际数学家会议的费尔兹奖。