POJ 3243 Clever Y 求A^X = B (mod C) / BabyStep_GiantStep
来源:互联网 发布:painter软件破解版 编辑:程序博客网 时间:2024/06/06 05:22
题意:求最小的x使得A^X = B (mod C)
题解:
【普通Baby Step Giant Step】
【问题模型】
求解
A^x = B (mod C) 中 0 <= x < C 的解,C 为素数
【思路】
我们可以做一个等价
x = i * m + j ( 0 <= i < m, 0 <=j < m) m = Ceil ( sqrt( C) )
而这么分解的目的无非是为了转化为:
(A^i)^m * A^j = B ( mod C)
之后做少许暴力的工作就可以解决问题:
(1) for i = 0 -> m, 插入Hash (i, A^i mod C)
(2) 枚举 i ,对于每一个枚举到的i,令 AA = (A^m)^i mod C
我们有
AA * A^j = B (mod C)
显然AA,B,C均已知,而由于C为素数,那么(AA,C)无条件为1
于是对于这个模方程解的个数唯一(可以利用扩展欧几里得或 欧拉定理来求解)
那么对于得到的唯一解X,在Hash表中寻找,如果找到,则返回 i * m + j
注意:由于i从小到大的枚举,而Hash表中存在的j必然是对于某个剩余系内的元素X 是最小的(就是指标)
所以显然此时就可以得到最小解
如果需要得到 x > 0的解,那么只需要在上面的步骤中判断 当 i * m + j > 0 的时候才返回
到目前为止,以上的算法都不存在争议,大家实现的代码均相差不大。可见当C为素数的时候,此类离散对数的问题可以变得十分容易实现。
【扩展Baby Step Giant Step】
【问题模型】
求解
A^x = B (mod C) 中 0 <= x < C 的解,C 无限制(当然大小有限制……)
【写在前面】
这个问题比较麻烦,目前网络上流传许多版本的做法,不过大部分已近被证明是完全错误的!
这里就不再累述这些做法,下面是我的做法(有问题欢迎提出)
下面先给出算法框架,稍后给出详细证明:
(0) for i = 0 -> 50 if(A^i mod C == B) return i O(50)
(1) d<- 0 D<- 1 mod C
while((tmp=gcd(A,C))!=1)
{
if(B%tmp)return -1; // 无解!
++d;
C/=tmp;
B/=tmp;
D=D*A/tmp%C;
}
(2) m = Ceil ( sqrt(C) ) //Ceil是必要的 O(1)
(3) for i = 0 -> m 插入Hash表(i, A^i mod C) O( m)
(4) K=pow_mod(A,m,C)
for i = 0 -> m
解 D * X = B (mod C) 的唯一解 (如果存在解,必然唯一!)
之后Hash表中查询,若查到(假设是 j),则 return i * m + j + d
否则
D=D*K%C,继续循环
(5) 无条件返回 -1 ;//无解!
下面是证明:
推论1:
A^x = B(mod C)
等价为
A^a * A^b = B ( mod C) (a+b) == x a,b >= 0
证明:
A^x = K * C + B (模的定义)
A^a * A^b = K*C + B( a,b >=0, a + b == x)
所以有
A^a * A^b = B(mod C)
推论 2:
令 AA * A^b = B(mod C)
那么解存在的必要条件为: 可以得到至少一个可行解 A^b = X (mod C)
使上式成立
推论3
AA * A^b = B(mod C)
中解的个数为 (AA,C)
由推论3 不难想到对原始Baby Step Giant Step的改进
For I = 0 -> m
For any solution that AA * X = B (mod C)
If find X
Return I * m + j
而根据推论3,以上算法的复杂度实际在 (AA,C)很大的时候会退化到几乎O(C)
归结原因,是因为(AA,C)过大,而就是(A,C)过大
于是我们需要找到一中做法,可以将(A,C)减少,并不影响解
下面介绍一种“消因子”的做法
一开始D = 1 mod C
进行若干论的消因子,对于每次消因子
令 G = (A,C[i]) // C[i]表示经过i轮消因子以后的C的值
如果不存在 G | B[i] //B[i]表示经过i轮消因子以后的B的值
直接返回无解
否则
B[i+1] = B[i] / G
C[i+1] = C[i] / G
D = D * A / G
具体实现只需要用若干变量,细节参考代码
假设我们消了a'轮(假设最后得到的B,C分别为B',C')
那么有
D * A^b = B' (mod C')
于是可以得到算法
for i = 0 -> m
解 ( D* (A^m) ^i ) * X = B'(mod C')
由于 ( D* (A^m) ^i , C') = 1 (想想为什么?)
于是我们可以得到唯一解
之后的做法就是对于这个唯一解在Hash中查找
这样我们可以得到b的值,那么最小解就是a' + b !!
现在问题大约已近解决了,可是细心看来,其实还是有BUG的,那就是
对于
A^x = B(mod C)
如果x的最小解< a',那么会出错
而考虑到每次消因子最小消 2
故a'最大值为log(C)
于是我们可以暴力枚举0->log(C)的解,若得到了一个解,直接返回
否则必然有 解x > log(C)
PS.以上算法基于Hash 表,如果使用map等平衡树维护,那么复杂度会更大
#include<cstdio>#include<cstring>#include<cmath>using namespace std;#define lint __int64#define MAXN 131071struct HashNode { lint data, id, next; };HashNode hash[MAXN<<1];bool flag[MAXN<<1];lint top;void Insert ( lint a, lint b ){ lint k = b & MAXN; if ( flag[k] == false ) { flag[k] = true; hash[k].next = -1; hash[k].id = a; hash[k].data = b; return; } while( hash[k].next != -1 ) { if( hash[k].data == b ) return; k = hash[k].next; } if ( hash[k].data == b ) return; hash[k].next = ++top; hash[top].next = -1; hash[top].id = a; hash[top].data = b;}lint Find ( lint b ){ lint k = b & MAXN; if( flag[k] == false ) return -1; while ( k != -1 ) { if( hash[k].data == b ) return hash[k].id; k = hash[k].next; } return -1;}lint gcd ( lint a, lint b ){ return b ? gcd ( b, a % b ) : a;}lint ext_gcd (lint a, lint b, lint& x, lint& y ){ lint t, ret; if ( b == 0 ) { x = 1, y = 0; return a; } ret = ext_gcd ( b, a % b, x, y ); t = x, x = y, y = t - a / b * y; return ret;}lint mod_exp ( lint a, lint b, lint n ){ lint ret = 1; a = a % n; while ( b >= 1 ) { if( b & 1 ) ret = ret * a % n; a = a * a % n; b >>= 1; } return ret;}lint BabyStep_GiantStep ( lint A, lint B, lint C ){ top = MAXN; B %= C; lint tmp = 1, i; for ( i = 0; i <= 100; tmp = tmp * A % C, i++ ) if ( tmp == B % C ) return i; lint D = 1, cnt = 0; while( (tmp = gcd(A,C)) !=1 ) { if( B % tmp ) return -1; C /= tmp; B /= tmp; D = D * A / tmp % C; cnt++; } lint M = (lint)ceil(sqrt(C+0.0)); for ( tmp = 1, i = 0; i <= M; tmp = tmp * A % C, i++ ) Insert ( i, tmp ); lint x, y, K = mod_exp( A, M, C ); for ( i = 0; i <= M; i++ ) { ext_gcd ( D, C, x, y ); // D * X = 1 ( mod C ) tmp = ((B * x) % C + C) % C; if( (y = Find(tmp)) != -1 ) return i * M + y + cnt; D = D * K % C; } return -1;}int main(){ lint A, B, C; while( scanf("%I64d%I64d%I64d",&A,&C,&B ) !=EOF ) { if ( !A && !B && !C ) break; memset(flag,0,sizeof(flag)); lint tmp = BabyStep_GiantStep ( A, B, C ); if ( tmp == -1 )puts("No Solution"); else printf("%I64d\n",tmp); } return 0;}
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