关于曼哈顿距离下的最小生成树

这些天一直在集训，考了十几次……

zzy出了一道曼哈顿距离下的最小生成树，考场上我没做出来……

嗯……这种题目的问题在于，你没办法把每两个点都建一条边……

但是因为是曼哈顿距离，所以有一些特殊性质

容易证明，将某个点为原点建立笛卡尔坐标系，将坐标系分为每45°角为一块的八个区域

那么这个点向每个区域只会朝其中的某个点连边……

为什么说容易证明，因为我不会证……网上MS有这种证明的说……

贴一下zzy的题解：

所以我们只要求一个点在其45°角的区域内离他最近的点就行了，而这可以用线段树或树状数组解决

我们以y轴正半轴往右偏45°角的区域为例：

点j在点i的这个区域要满足的条件是：

yj-xj>yi-xi

且xj>xi

那么我们将点以x为第一关键字，y为第二关键字，排序后倒序插入线段树

线段树的线段这一维是离散后的y-x，值是y+x

我们要求的是大于yi-xi的最小的y+x，而xj>xi这个条件已经由插入顺序满足了

这样我们成功的解决了这个区域的点

而其他区域的点我们可以通过坐标变换转移到这个区域

由于对称性，我们注意到其实只要求x轴或y轴正半轴所在的四个区域就行了

那么这个问题就这样解决了

不过，我没有找到地方提交这个题目……只是AC了zzy的题

代码在此：题目是求最小生成树上第k大边，使用了树状数组

//Lib#include<cstdio>#include<cstring>#include<cstdlib>#include<cmath>#include<ctime>#include<iostream>#include<algorithm>#include<vector>#include<string>#include<queue>#include<stack>#include<set>#include<map>using namespace std;//Macro#definerep(i,a,b)for(int i=a,tt=b;i<=tt;++i)#definedrep(i,a,b)for(int i=a,tt=b;i>=tt;--i)#defineerep(i,e,x)for(int i=x;i;i=e[i].next)#defineirep(i,x)for(typeof(x.begin()) i=x.begin();i!=x.end();i++)#defineread()(strtol(ipos,&ipos,10))#definesqr(x)((x)*(x))#definepbpush_back#definePSsystem("pause");typedeflong longll;typedefpair<int,int>pii;const int oo=~0U>>1;const double inf=1e100;const double eps=1e-6;string name="BRS", in=".in", out=".out";//Varint n,K,cnt,tot,ans;int lisan[100008],l[100008];int limit=1000000008;struct P{int x,y,idx;bool operator <(const P &o)const{return x<o.x||x==o.x&&y<o.y;}}d[100008];struct BIT{static const int limit=100000;int s[100008],p[100008];void set(){rep(i,1,limit)s[i]=oo;}inline int lowbit(int x){return x&-x;}void insert(int x,int v,int pos){for(int i=x;i>0;i-=lowbit(i))if(s[i]>v)s[i]=v,p[i]=pos;}int query(int x){int ret=oo,pos=n+1;for(int i=x;i<=n;i+=lowbit(i))if(s[i]<ret)ret=s[i],pos=p[i];return pos;}}Q;struct E{int a,b,c;bool operator <(const E &o)const{return c<o.c;}}e[1000000];struct UNION{int f[100008];static const int limit=100000;void set(){rep(i,1,n)f[i]=i;}int find(int x){return x==f[x]?f[x]:f[x]=find(f[x]);}void Union(int x,int y){f[x]=y;}}U;void Init(){scanf("%d%d",&n,&K);rep(i,1,n)scanf("%d%d",&d[i].x,&d[i].y);}void Discrate(){rep(i,1,n)l[i]=d[i].y-d[i].x;sort(l+1,l+1+n);rep(i,1,n)lisan[i]=lower_bound(l+1,l+1+n,d[i].y-d[i].x)-l;}void add(int a,int b,int c){e[++tot].a = a;e[tot].b = b;e[tot].c = c;}int Dis(int i,int j){return abs(d[i].x - d[j].x) + abs(d[i].y - d[j].y);}void Solve(){sort(d + 1,d + 1 + n);Discrate();Q.set();int pos;drep(i,n,1){pos = Q.query(lisan[i]);if(pos != Q.limit + 1)add(d[i].idx,d[pos].idx,Dis(i,pos));Q.insert(lisan[i],d[i].y + d[i].x,i);}}void Kruskal(){sort(e+1,e+1+tot);int x,y;int cnt=n-K;U.set();for(int i=1;i<=tot&&cnt;i++){x=U.find(e[i].a);y=U.find(e[i].b);if(x!=y){U.Union(x,y);cnt--;ans=e[i].c;}}}void Work(){rep(i,1,n)d[i].idx=i;rep(i,1,4){if(i == 3)rep(j,1,n)d[j].x = limit - d[j].x;if(i == 2 || i == 4)rep(j,1,n)swap(d[j].x,d[j].y);Solve();}Kruskal();cout<<ans<<endl;}int main(){freopen((name+in).c_str(),"r",stdin);freopen((name+out).c_str(),"w",stdout);Init();Work();//PS;return 0;}

不知道是因为STL还是把数据结构封装在结构体里面的原因

这个程序效率巨低，开O2和不开O2差距达到1倍以上……虽然我觉得这种写法很优美就是了……