曼哈顿距离最小生成树

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二维平面中有一些点，两点之间的距离为曼哈顿距离，求最小生成树。

朴素的n个点，只能做到O(n^3)或者O(n^2 lgn)。

但是针对这种曼哈顿距离的MST。

其中有个性质是：对于某个点，以他为中心的区域分为8个象限，对于每一个象限，只会取距离最近的一个点连边。

这样的话，由于边是双向的，所以对于每个点只需要考虑4个方向，边的数目最多为O(4*n)，再使用kruskal就可以做到O(nlgn)了。

至于证明：

这个结论可以证明如下：假设我们以点A为原点建系，考虑在y轴向右45度区域内的任意两点B(x1,y1)和C(x2,y2)，不妨设|AB|≤|AC|（这里的距离为曼哈顿距离），如下图：

|AB|=x1+y1，|AC|=x2+y2，|BC|=|x1-x2|+|y1-y2|。而由于B和C都在y轴向右45度的区域内，有y-x>0且x>0。下面我们分情况讨论：

1.      x1>x2且y1>y2。这与|AB|≤|AC|矛盾；

2.      x1≤x2且y1>y2。此时|BC|=x2-x1+y1-y2，|AC|-|BC|=x2+y2-x2+x1-y1+y2=x1-y1+2*y2。由前面各种关系可得y1>y2>x2>x1。假设|AC|<|BC|即y1>2*y2+x1，那么|AB|=x1+y1>2*x1+2*y2，|AC|=x2+y2<2*y2<|AB|与前提矛盾，故|AC|≥|BC|；

3.      x1>x2且y1≤y2。与2同理；

4.      x1≤x2且y1≤y2。此时显然有|AB|+|BC|=|AC|，即有|AC|>|BC|。

综上有|AC|≥|BC|，也即在这个区域内只需选择距离A最近的点向A连边。

转自：http://blog.csdn.net/huzecong/article/details/8576908 

那么如果有了结论之后，怎么样筛选出每个区域最近的点

首先是8个方向，由于边的双向性，我们只需要针对一个点考虑4个方向即可。这4个方向（比如说Y轴右侧），那么都可以通过坐标变换到某一个区域，（比如说y>x）。关于y=x或者y=0对称就可以实现。

对于y>x这个区域，如果对于点A(x0,y0) 在这个区域中有个点B(x1,y1)。

那么x1>x0&&y1-x1>y0-x0。而dist(A,B)=x1-x0+y1-y0=x1+y1-(x0+y0)，那么对于点A，则是找在这个区域内x1+y1最小的点。

那么什么样的点满足在这个区域内呢，（X1>X0&&Y1-X1>Y0-X0）便 是条件

我们将坐标按X排序，将Y-X离散化，用BIT来维护，查询对于某一个X0，查询比(Y0-X0)大的中X1+Y1最小的点。

将这条边加上，重复4个区域之后，就是kruskal了。

资料：

http://community.topcoder.com/tc?module=Static&d1=tutorials&d2=lineSweep 

题目：POJ 3241    http://poj.org/problem?id=3241

           icpcarchive 3662 https://icpcarchive.ecs.baylor.edu/index.php?option=com_onlinejudge&Itemid=8&page=show_problem&problem=1663

POJ 3241：求曼哈顿最小生成树上第K大边长度 。

#include<iostream>#include<string>#include<cstring>#include<cstdio>#include<cmath>#include<iomanip>#include<map>#include<algorithm>#include<queue>#include<set>#define inf 1000000000#define pi acos(-1.0)#define eps 1e-8#define seed 131using namespace std;typedef pair<int,int> pii;typedef unsigned long long ull;typedef long long ll;const int maxn=10005;struct Point{    int x,y;    int id;    bool operator<(const Point& u)const    {        if(x==u.x)            return y<u.y;        return x<u.x;    }};struct Edge{    int from,to,w;    Edge(int a,int b,int c):from(a),to(b),w(c){}    bool operator<(const Edge& u)const    {        return w<u.w;    }};Point p[maxn];vector<Edge>edge;int n,k;int c[maxn],mn[maxn];int parent[maxn];int lowbit(int x){    return x&-x;}int query(int x,int m){    int e=-1;    int w=inf;    while(x<=m)    {        if(c[x]<w)        {            w=c[x];            e=mn[x];        }        x+=lowbit(x);    }    return e;}void update(int x,int d,int id){    while(x>0)    {        if(c[x]>d)        {            c[x]=d;            mn[x]=id;        }        x-=lowbit(x);    }}int dist(int a,int b){    return abs(p[a].y-p[b].y)+abs(p[a].x-p[b].x);}void gao()//用树状数组维护，c[i]表示的意义是i之后一段的最小值，因此更新和查询的操作与传统的相反{    sort(p,p+n);    int x[maxn];    int cpy[maxn];    for(int i=0;i<n;i++)        x[i]=cpy[i]=p[i].y-p[i].x;    sort(cpy,cpy+n);    int tot=unique(cpy,cpy+n)-cpy;//离散化y-x    for(int i=1;i<=tot;i++)        c[i]=inf,mn[i]=-1;    for(int i=n-1;i>=0;i--)    {        int s=lower_bound(cpy,cpy+tot,x[i])-cpy+1;        int pos=query(s,tot);//y-x>=s，x+y最小的点的下标        if(pos!=-1)            edge.push_back(Edge(p[i].id,p[pos].id,dist(i,pos)));        update(s,p[i].x+p[i].y,i);    }}void work()//四种变换{    gao();    for(int i=0;i<n;i++)        swap(p[i].x,p[i].y);    gao();    for(int i=0;i<n;i++)        p[i].y=-p[i].y;    gao();    for(int i=0;i<n;i++)        swap(p[i].x,p[i].y);    gao();}int find(int x){    return parent[x]==x?x:parent[x]=find(parent[x]);}bool un(int a,int b){    int p1=find(a);    int p2=find(b);    if(p1==p2)        return false;    parent[p1]=p2;    return true;}int Kru(){    int v=n-k;    for(int i=1;i<=n;i++)        parent[i]=i;    sort(edge.begin(),edge.end());    int len=edge.size();    int p=0;    for(int i=0;i<len;i++)    {        if(un(edge[i].from+1,edge[i].to+1))        {            v--;            if(v==0)                return edge[i].w;        }    }}int main(){    scanf("%d%d",&n,&k);    for(int i=0;i<n;i++)    {        scanf("%d%d",&p[i].x,&p[i].y);        p[i].id=i;    }    work();    printf("%d\n",Kru());    return 0;}