曼哈顿距离最小生成树
来源:互联网 发布:淘宝速刷 编辑:程序博客网 时间:2024/05/01 00:19
转载于http://blog.csdn.net/ACM_cxlove?viewmode=contents
二维平面中有一些点,两点之间的距离为曼哈顿距离,求最小生成树。
朴素的n个点,只能做到O(n^3)或者O(n^2 lgn)。
但是针对这种曼哈顿距离的MST。
其中有个性质是:对于某个点,以他为中心的区域分为8个象限,对于每一个象限,只会取距离最近的一个点连边。
这样的话,由于边是双向的,所以对于每个点只需要考虑4个方向,边的数目最多为O(4*n),再使用kruskal就可以做到O(nlgn)了。
至于证明:
这个结论可以证明如下:假设我们以点A为原点建系,考虑在y轴向右45度区域内的任意两点B(x1,y1)和C(x2,y2),不妨设|AB|≤|AC|(这里的距离为曼哈顿距离),如下图:
|AB|=x1+y1,|AC|=x2+y2,|BC|=|x1-x2|+|y1-y2|。而由于B和C都在y轴向右45度的区域内,有y-x>0且x>0。下面我们分情况讨论:
1. x1>x2且y1>y2。这与|AB|≤|AC|矛盾;
2. x1≤x2且y1>y2。此时|BC|=x2-x1+y1-y2,|AC|-|BC|=x2+y2-x2+x1-y1+y2=x1-y1+2*y2。由前面各种关系可得y1>y2>x2>x1。假设|AC|<|BC|即y1>2*y2+x1,那么|AB|=x1+y1>2*x1+2*y2,|AC|=x2+y2<2*y2<|AB|与前提矛盾,故|AC|≥|BC|;
3. x1>x2且y1≤y2。与2同理;
4. x1≤x2且y1≤y2。此时显然有|AB|+|BC|=|AC|,即有|AC|>|BC|。
综上有|AC|≥|BC|,也即在这个区域内只需选择距离A最近的点向A连边。
转自:http://blog.csdn.net/huzecong/article/details/8576908那么如果有了结论之后,怎么样筛选出每个区域最近的点
首先是8个方向,由于边的双向性,我们只需要针对一个点考虑4个方向即可。这4个方向(比如说Y轴右侧),那么都可以通过坐标变换到某一个区域,(比如说y>x)。关于y=x或者y=0对称就可以实现。
对于y>x这个区域,如果对于点A(x0,y0) 在这个区域中有个点B(x1,y1)。
那么x1>x0&&y1-x1>y0-x0。而dist(A,B)=x1-x0+y1-y0=x1+y1-(x0+y0),那么对于点A,则是找在这个区域内x1+y1最小的点。
那么什么样的点满足在这个区域内呢,(X1>X0&&Y1-X1>Y0-X0)便 是条件
我们将坐标按X排序,将Y-X离散化,用BIT来维护,查询对于某一个X0,查询比(Y0-X0)大的中X1+Y1最小的点。
将这条边加上,重复4个区域之后,就是kruskal了。
资料:http://community.topcoder.com/tc?module=Static&d1=tutorials&d2=lineSweep
题目:POJ 3241 http://poj.org/problem?id=3241
icpcarchive 3662 https://icpcarchive.ecs.baylor.edu/index.php?option=com_onlinejudge&Itemid=8&page=show_problem&problem=1663
POJ 3241:求曼哈顿最小生成树上第K大边长度 。
#include <iostream> #include <cstdio> #include <algorithm> #define lowbit(x) (x&(-x)) using namespace std; const int N = 100005; struct Point{ int x,y,id; bool operator<(const Point p)const{ return x!=p.x?x<p.x:y<p.y; } }p[N]; struct BIT{ int min_val,pos; void init(){ min_val=(1<<30); pos=-1; } }bit[N]; struct Edge{ int u,v,d; bool operator<(const Edge e)const{ return d<e.d; } }e[N<<2]; int n,tot,pre[N]; int find(int x){ return pre[x]=(x==pre[x]?x:find(pre[x])); } int dist(int i,int j){ return abs(p[i].x-p[j].x)+abs(p[i].y-p[j].y); } void addedge(int u,int v,int d){ e[tot].u=u; e[tot].v=v; e[tot++].d=d; } void update(int x,int val,int pos){ for(int i=x;i>=1;i-=lowbit(i)) if(val<bit[i].min_val) bit[i].min_val=val,bit[i].pos=pos; } int ask(int x,int m){ int min_val=(1<<30),pos=-1; for(int i=x;i<=m;i+=lowbit(i)) if(bit[i].min_val<min_val) min_val=bit[i].min_val,pos=bit[i].pos; return pos; } int k; int Manhattan_minimum_spanning_tree(int n,Point *p){ int a[N],b[N]; for(int dir=0;dir<4;dir++){ //4种坐标变换 if(dir==1||dir==3){ for(int i=0;i<n;i++) swap(p[i].x,p[i].y); } else if(dir==2){ for(int i=0;i<n;i++){ p[i].x=-p[i].x; } } sort(p,p+n); for(int i=0;i<n;i++){ a[i]=b[i]=p[i].y-p[i].x; } sort(b,b+n); int m=unique(b,b+n)-b; for(int i=1;i<=m;i++) bit[i].init(); for(int i=n-1;i>=0;i--){ int pos=lower_bound(b,b+m,a[i])-b+1; //BIT中从1开始 int ans=ask(pos,m); if(ans!=-1) addedge(p[i].id,p[ans].id,dist(i,ans)); update(pos,p[i].x+p[i].y,i); } } sort(e,e+tot); int cnt=n-k; for(int i=0;i<n;i++) pre[i]=i; for(int i=0;i<tot;i++){ int u=e[i].u,v=e[i].v; int fa=find(u),fb=find(v); if(fa!=fb){ cnt--; pre[fa]=fb; if(cnt==0) return e[i].d; } } } int main(){ while(scanf("%d%d",&n,&k)!=EOF&&n){ tot=0; for(int i=0;i<n;i++){ scanf("%d%d",&p[i].x,&p[i].y); p[i].id=i; } printf("%d\n",Manhattan_minimum_spanning_tree(n,p)); } return 0; }
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