acm-polya计数公式

新浪博客 发表时间 -- 2009-07-26 21:37:42)

polya计数公式

Redfield-Polya 定理是组合数学理论中最重要的定理之一．自从 1927 年 Redfield 首次运用 group reduction function 概念，现在称之为群的循环指标（circle index of a group），至今 60 多年来，他在许多实际计数问题上得到了广泛的应用，它以置换群为理论基础，与生成函数有机地结合在一起，揭示了一类具有组合意义的计数的规律性．  

例子：

设  是有限集,  有限赋权集,  为  上的置换群.  . 由  可确定  总元素的等价关系“ ”, 由“ ”, 集合  可分解为若干互不交的等价类之并, 等价类的全体组成的集合记为  ,  中的元素为  , 那么等价类的权的和就可以用  的轮换示式表示. 即　　定理 3  (Polya 1937)  ,如果对  , 均取  , 则得等价类的元素个数为  　　证明  (见相关知识) 　　例 12  用红蓝二色对正立方体  的六个面染色, 对红、蓝色赋权  (红)= ,  (蓝)= , 此时的轮换示式为  对正方体的两个面染色法, 如果经过群  的任意旋转, 都不能使旋转前后正方体对应的面染色相同, 则称为本质上不同的, 于是, 对正方体的面染色, 本质上不同的染色数是  对具有四个红面, 两个蓝面的本质上不同的染色数, 是多项式                                                        中  的系数, 即 2. 如果欲求具有  个红面,  个蓝面的染色数  . 既有  . 　　例 13  用 2 个蓝珠, 1 个红珠, 1 个黄珠可串成多少种不同的项链?　　解  设珠子集合为  , 颜色集  {蓝、红、黄}, 赋权为  (蓝) ,  (红) ,  (黄) ,  上的置换群是二面体群:

,

  的循环指标多项式为:    中全部模型的存储为:　　       ,所求模型的权  , 其系数为 2, 即有两种不同的项链.　　例 14  设  是有限集,  是  上的置换群, 称  的子集  与  等价(记为  ), 如果存在  , 使得  , 试求等价类的数目.　　解  设集  , 赋权为:  , 映射  ,  其中  , 这样集  的子集与  中的映射一一对应,  , 均有  , 从而子集的等价类为映射的等价类, 故子集等价类的数目等于  中全部模型(在  )的存储, 由 Redfidld-Polya 定理, 等价类的数目为  .　　如果对集  重新呀赋权为  , 这里  是变量, 有  个元素的子集对应的映射  的权  , 从而  中全部模型在此赋权下的存储为:  , 在细多项式中  的系数  是个有  个元素的子集的等价类的数目, 当  取遍全部非负整数时,  . 多项式  是有  个元素子集的等价类的数目的母函数.