polya计数回顾

burnside引理


设$G={g_1,g_2...g_k}$是[1,n]上的置换群，令$c(g_i)$表示置换$g_i$下不动点的个数，那么G将[1,n]划分为等价类>的个数是：

\[
l = \frac{1}{|G|}{\sum_{j=1}^{|G|}{c(g_i)}}
\]
即是说，等价类个数等于不动点个数的均值。
如果存在$g_i$将$g_i(a)->b$那么我们就说观测到a和b等价。换句话说，我们看到的a和b是同一个东西。


polya定理


设$G={g_1,g_2...g_|G|}$是[1,n]上的置换群，令$C(g_i)$表示置换$g_i$下循环节的个数，先用m个颜色对[1,n]着色，那么在G作用下,[1,n]的不同着色方案数为：

\[
l = \frac{1}{|G|}{\sum_{j=1}^{|G|}m^{C(g_i)}}
\]


polya定理是burnside的特例。
需要注意的是，burnside算的是[1,n]这n个数的不同等价类的个数；polya算的是$m^n$个方案数中不同等价类的个数。因此，burnside中的[1,n]是计数对象，而polya中的方案数是计数对象。
burnside中的g直接作用于计数对象[1,n]；而polya中的g虽然也作用于[1,n]，但[1,n]不是计数对象，方案数才是，但是g通过作用到[1,n]间接作用到方案数上面。
比如n=4,g=(1 2 3)(4),着色方案为f=(a b c d),那么g(f) = (c a b d)




两式对比，容易发现$m^{C(g_i)}$是burnside中的不动点数。不动点是自己映射到自己，即g(f) = f.对于上例就是(c a b d) = (a b c d),于是有c = a, a = b, b = c, d = d。因此如果方案f是不动点，那么f的循环节内的点的颜色必须一致。对于循环节为$C(g_i)$的置换，其不动点个数为$m^{C(g_i)}$




顺便上一题巩固一下
[HNOI2008]Cards
这里不能直接套用polya，因为每种颜色的使用量是有限制的，因此考虑用burnside计算。对于置换g，因为同一循环节里面只能用同一种颜色，因此我们统计出g的第i个循环节里面有ci个数。然后我们用这些数dp就可以了。
dp[i][r][g][b]表示前i个循环节，用r中r色，g中g色，b种b色着色的方案数：
那么dp[i][r][g][b] = dp[i][r-ci][g][b]+dp[i][r][g][b-ci]+dp[i][r][g-ci][b]。然后就没有然后了。

/**************************************************************    Problem: 1004    User: 63116021    Language: C++    Result: Accepted    Time:120 ms    Memory:3616 kb****************************************************************/ #include <iostream>#include <cstdio>#include <cstdlib>#include <cstring>#include <cmath>#include <algorithm>#define clr(A) memset(A,0,sizeof(A))using namespace std; const int MM = 10000; int r,b,g,m,p;int fg = 0;typedef struct GG{    int x,y;    GG(int _x,int _y){    x = _x,y = _y;    }}G; G Ext_gcd(int a,int b){    if(b==0) return G(1,0);    G tmp = Ext_gcd(b,a%b);    return G(tmp.y,tmp.x-a/b*tmp.y);}   int getcir(int a[],int nn){    int hash[nn+3];    int B[nn+2];    clr(hash);    int res = 0;    for(int i = 1;i<=nn;i++)    if(!hash[i])    {        B[++res] = 1;        hash[i] = 1;        int tmp = a[i];        while(tmp!=i)        {            hash[tmp] = 1,B[res]++,tmp = a[tmp];        }    }     int F[res+2][b+2][r+2][g+2];    clr(F);    F[0][0][0][0] = 1;    for(int i = 1;i<=res;i++)    for(int sb = 0;sb<=b;sb++)    for(int sr = 0;sr<=r;sr++)    for(int sg = 0;sg<=g;sg++)    //if(sb+sr+sg>=B[i])    {      if(sb>=B[i]) F[i][sb][sr][sg] += F[i-1][sb-B[i]][sr][sg];      if(sr>=B[i]) F[i][sb][sr][sg] += F[i-1][sb][sr-B[i]][sg];      if(sg>=B[i]) F[i][sb][sr][sg] += F[i-1][sb][sr][sg-B[i]];      F[i][sb][sr][sg] %= p;    }    if(res == nn) fg = 1;    return F[res][b][r][g];}int main(){    //freopen("Pr_temp.in","r",stdin);    scanf("%d%d%d%d%d",&r,&b,&g,&m,&p);    int n = r+b+g;    int A[n+2];    int ans = 0;    for(int i = 1;i<=m;i++)    {        for(int j = 1;j<=n;j++)        scanf("%d",A+j);        ans = (ans+getcir(A,n)) % p;    }    if(!fg){        for(int i = 1;i<=n;i++)        A[i] = i;        ans = (ans+getcir(A,n)) % p;        m++;    }    G Gg = Ext_gcd(m,p);    int Inv = (Gg.x+p) % p;    printf("%d\n",Inv*ans%p);    return 0;}