hdoj 3002 King of Destruction (最小割边集+Stoer-Wagner算法)

【题目大意】：给出n个点，m条无向边，求最小割。

【解题思路】：原本以为起点是0，终点是n-1，直接敲了个Isap上去....然后发现看错题意。后来发现是最小割边集的Stoer-Wagner算法，成了模版题

【Stoer-Wagner算法】：转自：http://www.cppblog.com/RyanWang/archive/2009/08/18/93748.html

 一个无向连通网络，去掉一个边集可以使其变成两个连通分量则这个边集就是割集；最小割集当然就权和最小的割集。

可以用最小切割最大流定理：

1.min=MAXINT,确定一个源点

2.枚举汇点

3.计算最大流，并确定当前源汇的最小割集，若比min小更新min

4.转到2直到枚举完毕

5.min即为所求输出min

    不难看出复杂度很高：枚举汇点要O(n)，最短增广路最大流算法求最大流是O((n^2)m)复杂度，在复杂网络中O(m)=O(n^2)，算法总复杂度就是O(n^5)；哪怕采用最高标号预进流算法求最大流O((n^2)(m^0.5))，算法总复杂度也要O(n^4)

    所以用网络流算法求解最小割集复杂度不会低于O(n^4)。

－－－－－－－－－

    prim算法不仅仅可以求最小生成树，也可以求“最大生成树”。最小割集Stoer-Wagner算法就是典型的应用实例。

    求解最小割集普遍采用Stoer-Wagner算法，不提供此算法证明和代码，只提供算法思路：

1.min=MAXINT，固定一个顶点P

2.从点P用“类似”prim的s算法扩展出“最大生成树”，记录最后扩展的顶点和最后扩展的边

3.计算最后扩展到的顶点的切割值（即与此顶点相连的所有边权和），若比min小更新min

4.合并最后扩展的那条边的两个端点为一个顶点（当然他们的边也要合并，这个好理解吧？）

5.转到2，合并N-1次后结束

6.min即为所求，输出min

prim本身复杂度是O(n^2)，合并n-1次，算法复杂度即为O(n^3)

如果在prim中加堆优化，复杂度会降为O((n^2)logn)

这个Stoer-Wagner算法可以参见这篇paper(http://docs.google.com/fileview?id=0BwxLvD9mcDNtMjk3MWVkMTAtZjMzNi00ZWE3LTkxYjQtYTQwNzcyZTk3Njk2&hl=en), 其核心思想是迭代缩小规模, 算法基于这样一个事实:

 

对于图中任意两点s和t, 它们要么属于最小割的两个不同集中, 要么属于同一个集.

 

如果是后者, 那么合并s和t后并不影响最小割. 基于这么个思想, 如果每次能求出图中某两点之间的最小割, 然后更新答案后合并它们再继续求最小割, 就得到最终答案了. 算法步骤如下:

 

1. 设最小割cut=INF, 任选一个点s到集合A中, 定义W(A, p)为A中的所有点到A外一点p的权总和.

2. 对刚才选定的s, 更新W(A,p)(该值递增).

3. 选出A外一点p, 且W(A,p)最大的作为新的s, 若A!=G(V), 则继续2.

4. 把最后进入A的两点记为s和t, 用W(A,t)更新cut.

5. 新建顶点u, 边权w(u, v)=w(s, v)+w(t, v), 删除顶点s和t, 以及与它们相连的边.

6. 若|V|!=1则继续1.

 

看起来很简单, 每次像做最大生成树一样选最大"边"(注意, 这里其实不是边, 而是已经累计的权值之和, 就当是加权的度好了), 然后把最后进入的两个点缩到一块就可以了. 合并点最多有n-1次, 而不加堆优化的prim是O(n^2)的, 所以最终复杂度O(n^3), 要是你有心情敲一大坨代码, 还可以在稀疏图上用Fibonacci Heap优化一下, 不过网上转了一圈, 大多都是说能用Fibonacci Heap优化到怎样怎样的复杂度, 真正能自己写出来的恐怕也没几个, 看看uoregon(俄勒冈大学)的一大坨代码就有点寒. (http://resnet.uoregon.edu/~gurney_j/jmpc/fib.html)

 

特别注意几个地方, 网上的好几个Stoer-Wagner版本都存在一些小错误:

 

1. 算法在做"最大生成树"时更新的不是普通意义上的最大边, 而是与之相连的边的权值和, 当所有边都是单位权值时就是累计度.

2. "最后进入A的两点记为s和t", 网上对s有两种解释, 一是在t之前一个加进去的点, 二是t的前趋节点, 也就是最后选择的那条边的另一端. 正解是第一种!

3. 对于稠密图, 比如这题, 我用堆, 映射二分堆, 或者STL的优先队列都会TLE, 还不如老老实实O(n^3).

【代码】：

#include <iostream>#include <cstdio>#include <cstring>#include <algorithm>#include <vector>#include <queue>#include <cmath>#include <string>#include <cctype>#include <map>#include <iomanip>                   using namespace std;                   #define eps 1e-8#define pi acos(-1.0)#define inf 1<<30#define linf 1LL<<60#define pb push_back#define lc(x) (x << 1)#define rc(x) (x << 1 | 1)#define lowbit(x) (x & (-x))#define ll long long#define maxn 110int maz[maxn][maxn];int n,m;int stoer_wagner(int n){    bool vis[maxn];    int node[maxn],dis[maxn];    int maxj,prev;    int ans=inf;    memset(dis,0,sizeof(dis));    for (int i=0; i<n; i++)node[i]=i;    while (n>1) {        prev=0;        maxj=1;        memset(vis,false,sizeof(vis));        vis[node[0]]=true;        for (int i=1; i<n; i++) {             dis[node[i]]=maz[node[0]][node[i]];            if (dis[node[i]]>dis[node[maxj]])                maxj=i;         }         for (int i=1; i<n; i++) {            if (i==n-1) { //只剩最后一个点就开始合并点                ans=(dis[node[maxj]]<ans?dis[node[maxj]]:ans);                for (int k=0; k<n; k++) {//合并点，更新边权关系                    maz[node[k]][node[prev]]+=maz[node[k]][node[maxj]];                    maz[node[prev]][node[k]]=maz[node[k]][node[prev]];                }                 node[maxj]=node[--n];//缩点            }             prev=maxj;            vis[node[maxj]]=true;            maxj=-1;            for (int k=1; k<n; k++) {                if(!vis[node[k]]) {                    dis[node[k]]+=maz[node[prev]][node[k]];                    if(maxj==-1 || dis[node[k]]>dis[node[maxj]])                        maxj=k;                 }             }        }    }    return ans;}int main(){    while(~scanf("%d%d",&n,&m)){        memset(maz,0,sizeof(maz));        int a,b,c;                    for (int i=0; i<m; i++) {            scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);            maz[a][b]+=c;            maz[b][a]+=c;        }         printf("%d\n",stoer_wagner(n));    }    return 0; }