五人过河问题的分析

一、问题描述：

有一家人共5口需要在夜里过河，河上只有一条船，每次最多同时可以有两个人同时过河。由 于在夜中，必须使用手电筒来照明。且目前只有一支手电，并且该手电还可以供电30mins。已知5个人（设为A，B，C，D，E）过河的时间分别为（单 位：min）：1、3、6、8、12。求5个人在30mins之内过河的方法。

 

二、一些分析：

       直觉情况下，因为每次必须有人把船摇回来，因此当然是最快的人回来，容易知道，5人过河，需要回来3次，过去4次，若每次都是最快的人回来，那么耗时为3*1+3+6+8+12 = 32mins，显然不是最优解。

       其实正确解法是这样，若用一个3元组（A,B,C）表示A和B过河，C划船回来（C可以是A或者B），那么解法如下：(A,B,A) | (D,E,B) | (A,C,A) | (A,B,X) (时间从小到大顺序为A~E，X表示不必回来)。

这种解法在脑中想想也能得到，下面试着从分析证明的角度分析出这样的解法。首先做几个合理的假设：

1、因为每次只有一个人回来，因此时间耗费是独立的，故每次都是已过河的时间最少的人回来；否则存在更加省时间的解法；

2、因为河有两岸，不能保证过河的人中一定有时间最短的那个，因此考虑时间次短者，其他每次渡河结束时，最短者和次短者不能同时在河的起始岸边。

3、不管如何，用时最快的人肯定要最先过河

于是现在有两种情况：

情况一：只有T1返回

      设5人的时间从小到大为T1~T5，那么若每次返回的都是T1，总共耗时3*T1 + T2 + T3 + T4 + T5，记为Ta。

情况二：若同时考虑T1和T2作为返回者，那么进行如下分析：

A：返回的次数n1 + n2 = 3，且n1，n2均不为零（如果n2为0，变为情况一；如果n1为0，耗时肯定大于情况一，故不考虑）；

B：T2返回一次，则下次不能和未过河的人一起过河，因为T1这样做耗时更短；所以结论为T2返回一次，必须过去两个未过河的人（肯定不是T1）；

C：关于这两个未过河的人选择，必须是最大者和次大者（题目中为T4，T5），因为若是最大者和其他的人（假设为Y，Y小于T4），那么这三个人过河时间为T5 + T4 > T5 + Y；

D：最后一次必定是最小者和次小者同时过河，因为根据假设2，第n-1次渡河后，最小者和次小者在河两边，于是摆渡回来再过去，最后一次肯定是最小者和次小者。

      

      根据以上分析，最小者和次小者一起渡河两次，因为剩下元素有3个，因此次小者只需回来一次（一次就可以度过两个较大的元素），T1回来两次，因此肯定过去了两次，一次是和T2，一次是和T3，于是总共耗时为 2*T2 + 2*T1 + T2 + T5 + T3 ，记为Tb。

      带入具体数值，Ta = 32， Tb = 29，于是得到了正确的解答。

三、进一步的分析

      到了这里，不妨再分析下为什么会出现3分钟的差距，我们用Ta - Tb得到：

      Ta - Tb = （T1 ＋Ｔ4） - 2*T2,这里可以看出，因为我们用最大者的时间掩盖了次大者的时间，但是也付出了代价，就是次快者的返回比最快者返回更加占用时间，T1+T4可以看做是（T1,T4,T1）的时间，2*T2的时间耗费在一次返回和最后一次和T1过去的时间。根据这个不等式就可以判定是用哪一种方法来过河了。

四、问题扩展

      分析到了这里，可以试着做一次推广，设有n个人，每人耗时Ti(i = 1~n)；T1 < T2 <...< Tn，有如下结论：

      必须返回 n-2 次，渡河n-1次（小船容量仍为2人），于是在按照情况一，耗时为

      Ta = (n-2)*T1 + (T2+...+Tn)；

       若按照情况2，必至少有T2的一次返回，然后渡过最大者和次大者，且渡过后，根据假设二，最快者和次快者分立两岸，根据假设一，返回后的状态是最快者和次快者在起始岸边，问题变为规模更小的问题（最慢者和次慢着已经过河），于是可以进行下一步判断。

       每次判断的条件为 T1 + T(次慢者) 和 2*T2比较....如果前者小于后者，就用情况一，否则用情况二处理。因为规模的缩小，可以采用递归处理，递归终止条件为人数规模为2或者3，人数规模为2时，返回最慢者的时间，为3时，返回3人时间之和（此时解法唯一，为（A，B，A）（A，C，X））。而每次见小规模的耗时为：
       若为情况一，T2不返回，于是T1来回，得到解法（T1，Tn，T1），耗时Tn+T1；
       若为情况二，T2返回，最大者和次大着过去，得到解法（T1，T2，T2）（Tn-1，Tn，T1），耗时2*T2 + Tn + T1；
 
      于是得到下列递归解法：
    

int boatA(int *t, int n){int *time = t;int i = n;if ( n == 2) return t[1];else if ( n == 3) return sum(time, n);else {if ( 2*time[1] <= time[0] + time[n-2])return time[0]+time[n-1]+2*time[1] + boatA(time, n-2);else return time[0] + time[n-1] + boatA(time, n-1);}}

      实际上可以分析，当有一次判断失败时，后面的也就不用判断了，因为次大者会越来越小，这样可以适当修改上面的程序，下面是题目的非递归算法：

int boatB(int *t, int n){int i = n;int total = 0;if (i == 2) return t[1];if (i == 3) return sum(t, n);while( 2*t[1] <= t[0] + t[i-2]) {total += t[0] + t[i-1] + 2*t[1];i -= 2;}total += (i-2)*t[0] + sum(t+1, i-1);return total;}

       分析难免会有不严密指出，求批评指正..