【数论】【矩阵乘法】【NOI2011】兔农
来源:互联网 发布:网络教育好不好毕业 编辑:程序博客网 时间:2024/06/05 00:49
Description农夫栋栋近年收入不景气,正在他发愁如何能多赚点钱时,他听到隔壁的小朋友在讨论兔子繁殖的问题。问题是这样的:第一个月初有一对刚出生的小兔子,经过两个月长大后,这对兔子从第三个月开始,每个月初生一对小兔子。新出生的小兔子生长两个月后又能每个月生出一对小兔子。问第n个月有多少只兔子?聪明的你可能已经发现,第n个月的兔子数正好是第n个Fibonacci(斐波那契)数。栋栋不懂什么是Fibonacci数,但他也发现了规律:第i+2个月的兔子数等于第i个月的兔子数加上第i+1个月的兔子数。前几个月的兔子数依次为:1 1 2 3 5 8 13 21 34 …栋栋发现越到后面兔子数增长的越快,期待养兔子一定能赚大钱,于是栋栋在第一个月初买了一对小兔子开始饲养。每天,栋栋都要给兔子们喂食,兔子们吃食时非常特别,总是每k对兔子围成一圈,最后剩下的不足k对的围成一圈,由于兔子特别害怕孤独,从第三个月开始,如果吃食时围成某一个圈的只有一对兔子,这对兔子就会很快死掉。我们假设死去的总是刚出生的兔子,那么每个月的兔子数仍然是可以计算的。例如,当k=7时,前几个月的兔子数依次为:1 1 2 3 5 7 12 19 31 49 80 …给定n,你能帮助栋栋计算第n个月他有多少对兔子么?由于答案可能非常大,你只需要告诉栋栋第n个月的兔子对数除p的余数即可。Input输入一行,包含三个正整数n, k, p。Output输出一行,包含一个整数,表示栋栋第n个月的兔子对数除p的余数。Sample Input6 7 100Sample Output7HINT1<=N<=10^182<=K<=10^62<=P<=10^9
为了方便看,也给一段Libreoffice Math脚本,请用Libreoffice Math打开:
"设"lbrace a_i rbrace"为斐波拉契数列"1,` 1,` 2,` dotsaxis "且"a_0 `=` 0","lbrace b_i rbrace"为目标数列."newline"将"lbrace b_i rbrace"从0处分段,那么每一段的最开始两个数一定是一样的(设为"x"),"newline"所以某一段(记作"lbrace c_i rbrace")可以看成"c_i `=` x a_i",而该段的最后一个数(记作"c_l")"newline"一定满足" c_l `equiv` 1 (mod K)"即"x a_l `equiv` 1 (mod K)".也就是说,知道了每一段的"newline"第一项也就能确定该段的最后一个数并进而确定该段的长度."newline "令" boldA `=` left(matrix{0 # 1 # 0 ##1 # 1 # 0 ##0 # 0 # 1}right)"," boldB `=` left(matrix{0 # 0 # 0 ##0 # 0 # 0 ##1 # 1 # 0}right)newline"那么"{bold A}^i `=` left(alignl matrix{a_{i `-` 1}# a_i# 0 ##a_i# a_{i `+` 1}# 0 ##0 # 0# 1}right)newline"而在实际的递推数列中,若第"i"项被减掉了"1",那么对后面第"i `+` k newline"项的贡献为"a_{k `+` 1}"(即后面会依次减去"1,` 2,` 3,` 5,` dotsaxis ")"newline"于是可以通过以下方式构造出矩阵:" newline"对每一段都构造出一个矩阵"{bold M}_t `=` {bold A}^{l_t} `+` bold B "("l_t"为该段长度)"newline "那么"{bold M}_t `times` {bold M}_{t `+` 1} `=` left(alignl matrix{a_{l_t `-` 1}# a_{l_t}# 0 ##a_{l_t}# a_{l_t `+` 1}# 0 ##1# 1# 1}right) `times`left(alignl matrix{a_{l_{t `+` 1} `-` 1}# a_{l_{t `+` 1}}# 0 ##a_{l_{t `+` 1}} # a_{l_{t `+` 1} `+` 1}# 0 ##1# 1# 1}right)newline alignl ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~`=` left(alignl matrix{a_{l_t `+` l_{t `+` 1} `-` 1}# a_{l_t `+` l_{t `+` 1}}# 0 ##a_{l_t `+` l_{t `+` 1}} # a_{l_t `+` l_{t `+` 1} `+` 1}# 0 ##a_{l_{t `+` 1} `+` 1}# a_{l_{t `+` 1} `+` 2}# 1}right) newline "仔细观察,发现这个矩阵的第"2"行第"1"列的数恰好就是"newline"正常斐波拉契数列的某一项,而它下面那个数就正好是"newline"由于该段开头被减一而需要被减去的数﹒对每一段都构造出"newline"这样的一个矩阵,最后将第一个矩阵一直乘到最后一个矩阵"newline"所得到的第"2"行第"1"列的数减去第"3"行第"1"列的数就得到了最终答案!"newline"但这样做的代价仍然是很大的……但是我们不怕——"newline"因为将"b"数列分段后,仍然存在循环节!"newline"于是又可以把有循环节那一块的矩阵乘到一起,用快速幂来加速!"newline"另外,如果在给"b"数列分段的时候,某一处找不到乘法逆元,"newline"则可以直接用"bold A"的幂来直接表示出剩下的所有矩阵"newline"(也即剩下的所有项都满足斐波拉契递推关系)."代码:
/************************************\ * @prob: NOI2011 兔农 * * @auth: Wang Junji * * @stat: Accepted. * * @date: July. 1st, 2012 * * @memo: 数论、欧拉定理、矩阵乘法 *\************************************/#include <cstdio>#include <cstdlib>#include <algorithm>#include <cstring>#include <string>typedef long long int64;const int maxK = 1000010;struct Matrix{ int ele[3][3]; static int Mod; Matrix() {memset(ele, 0, sizeof ele);} /* Matrix */ Matrix(const Matrix& b) {*this = b;} /* Matrix */ Matrix& operator=(const Matrix& b) {memcpy(ele, b.ele, sizeof ele); return *this;} /* operator= */ int* const operator[](const int& Ind) {return ele[Ind];} /* operator[] */ const int* const operator[](const int& Ind) const {return ele[Ind];} /* operator[] */ Matrix& operator*=(const Matrix& b) { static Matrix res; for (int i = 0; i < 3; ++i) for (int j = 0; j < 3; ++j) { int64 tmp = 0; for (int k = 0; k < 3; ++k) tmp += (int64)ele[i][k] * b[k][j]; res[i][j] = tmp % Mod; } /* for */ return *this = res; } /* operator*= */} matr[maxK], A, B, C;int Fib[maxK << 3], Ind_Fib[maxK], Ind_Cyc[maxK], len[maxK], p, K, Matrix::Mod = 0;int64 n;Matrix pow(const Matrix& a, int64 n){ Matrix res, tmp(a); res[0][0] = res[1][1] = res[2][2] = 1; for (; n; n >>= 1, tmp *= tmp) if (n & 1) res *= tmp; return res;} /* pow */int pow(int a, int64 n, int Mod){ int64 res = 1, tmp = a; for (; n; n >>= 1, (tmp *= tmp) %= Mod) if (n & 1) (res *= tmp) %= Mod; return res;} /* pow */int gcd(int n, int m){ for (int r; m; n = m, m = r) r = n % m; return n;} /* gcd */int main(){ freopen("rabbit.in" , "r", stdin ); freopen("rabbit.out", "w", stdout); scanf("%lld%d%d", &n, &K, &p); Matrix::Mod = p; Fib[1] = Fib[2] = 1; for (int i = 3; ; ++i) { Fib[i] = (Fib[i - 1] + Fib[i - 2]) % K; if (!Ind_Fib[Fib[i]]) Ind_Fib[Fib[i]] = i; if (Fib[i] == 1 && Fib[i - 1] == 1) break; } /* for */ int tmp = K, mul_Inv = 1; for (int i = 2; i * i <= tmp; ++i) if (tmp % i == 0) { mul_Inv *= i - 1; while ((tmp /= i) % i == 0) mul_Inv *= i; } /* if */ if (tmp > 1) mul_Inv *= tmp - 1; A[0][1] = A[1][0] = A[1][1] = A[2][2] = 1; B[0][0] = B[1][1] = B[2][2] = 1; C[0][0] = C[1][1] = C[2][2] = 1; memset(Ind_Cyc, 0xff, sizeof Ind_Cyc); int tot = 0, ths = 1, ans = 0; int64 totlen = 0; for (; Ind_Cyc[ths] == -1; ++tot) { if (gcd(ths, K) > 1 || !Ind_Fib[pow(ths, mul_Inv - 1, K)]) { for (int i = 0; i < tot; ++i) B *= matr[i]; B *= pow(A, n - totlen); ans = ((B[1][0] - B[2][0]) % p + p) % p; printf("%d\n", ans); return 0; } /* if */ Ind_Cyc[ths] = tot; int nxt = pow(ths, mul_Inv - 1, K); len[tot] = Ind_Fib[nxt]; if (n < totlen + len[tot]) { for (int i = 0; i < tot; ++i) B *= matr[i]; B *= pow(A, n - totlen); ans = ((B[1][0] - B[2][0]) % p + p) % p; printf("%d\n", ans); return 0; } /* if */ totlen += len[tot]; matr[tot] = pow(A, len[tot]); ++matr[tot][2][0] %= p; ++matr[tot][2][1] %= p; ths = ((int64)ths * Fib[len[tot] - 1]) % K; } /* for */ int start = Ind_Cyc[ths]; for (int i = 0; i < start; ++i) B *= matr[i], n -= len[i]; totlen = 0; for (int i = start; i < tot; ++i) C *= matr[i], totlen += len[i]; B *= pow(C, n / totlen); n %= totlen, totlen = 0; for (int i = start; i < tot; ++i) { if (n < totlen + len[i]) { B *= pow(A, n - totlen); ans = ((B[1][0] - B[2][0]) % p + p) % p; printf("%d\n", ans); return 0; } /* if */ B *= matr[i]; totlen += len[i]; } /* for */ return 0;} /* main */
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