回溯算法---01背包问题

背包问题：

         给定n种物品（每种物品仅有一件）和一个背包。物品i的重量是w_i ，其价值为p_i ，背包的容量为w。问应如何选择物品装入背包，使得装入背包中的物品的总价值最大？

            l  如果在装入背包时，物品可以切割，即可以只装入一部分，这种情况下的问题称为背包问题。

            l  在装入背包时，每种物品i只有两种选择，装入或者不装入，既不能装入多次，也不能只装入一部分。因此，此问题称为0-1背包问题。

        要想得到最优解，就要在效益增长和背包容量消耗两者之间寻找平衡。也就是说，总应该把那些单位效益最高的物体先放入背包。

背包问题可看做是一种回溯：

          每个包是一个节点， 节点共有2个候选值0、1 。 0代表不放人背包中， 1代表放入背包中。

      因此，背包问题就转换为找到满足条件的路径问题。

因此，可用回溯方法解决。

回溯方法解决背包问题：

方法一：

// 判断节点（I,j）是否为解路径上的节点,其中：

//  

//   i表示解路径上的第i个测试节点、j表示该节点的某个候选值

//   A[i] 保存第i个节点选用的值

 

BOOL TestNode(I ,j)

{

   更新相关参数值（假定选择了此候选值j，因此更新受影响的参数值）；

 

   与0—(i-1) 层进行判断，看是否与以遍历的节点有冲突

  

   若有冲突， 则返回FALSE；

   若无冲突， 则 将节点i的值j,保存到对应的数组中A[I]=J;

 

   判断I是否为最后一层,

  若是最后一层，则成功找到一条解路径，返回TRUE；

 

  若不是最后一层，则判断第i+1层是否有正确的节点。

 

   BOOL bFlag=FALSE;

   FOR(k=0;k< CANDIDATA_NUM;k++) //候选值【0，。。。，CANDIDATA_NUM -1】

   {

        If(TestNode(i+1,k))

        {

           找到一个解；

           bFlag=True;

        }

        //不管TestNode(i+1,k)是成功的还是失败的，退出后，都要对参数进行还原

       还原相关参数值（撤销了候选值k，因此要还原受影响的参数值）；

 

   }

  

   RETURN bFlag;

 

}

 

int m,n=5,x[10]={0};int w[6]={0,2,2,6,5,5},v[6]={0,6,3,5,4,6};int c=10;int cw=0,cv=0,bestv=0;BOOL TestNode(int i,int j){  // 第 i个物品的 候选值为0和1//更新相关参数值cw+=w[i]*j;cv+=v[i]*j;//与之前的物品相比  有无冲突if (cw>c)return FALSE;    //无冲突，添加至解路径x[i]=j;// 到此为止  0--i行 均无冲突// 如果是最后一行  成功找到一个解if(i==n){for(i=1;i<=n;i++)printf("%d",x[i]);if(cv>bestv)bestv=cv;printf("\n");return TRUE;}//如果不是最后一行 则判断i+1行BOOL bSuit=FALSE;for (int k=0;k<=1;k++){//第i+1行存在合适位置 if (TestNode(i+1,k))bSuit=TRUE;//还原相关参数cw-=w[i+1]*k;cv-=v[i+1]*k;}   return bSuit;}void  Bag(){for (int i=0;i<=1;i++){TestNode(1,i);}}

或 不更新与还原相关变量， 而是根据已知信息推导相关变量值

int m,n=5,x[10]={0};int w[6]={0,2,2,6,5,5},v[6]={0,6,3,5,4,6};int c=10;int cw=0,cv=0,bestv=0;BOOL TestNode(int i,int j){  // 第 i个物品的 候选值为0和1   //根据已知 推倒相关参数值cw=0;cv=0;for (int k=1;k<=i-1;k++){cw+=x[k]*w[k];cv+=x[k]*v[k];}cw+=w[i]*j;cv+=v[i]*j;//与之前的物品相比  有无冲突if (cw>c)return FALSE;    //无冲突，添加至解路径x[i]=j;// 到此为止  0--i行 均无冲突// 如果是最后一行  成功找到一个解if(i==n){for(i=1;i<=n;i++)printf("%d",x[i]);if(cv>bestv)bestv=cv;printf("\n");return TRUE;}//如果不是最后一行 则判断i+1行BOOL bSuit=FALSE;for (int k=0;k<=1;k++){//第i+1行存在合适位置 if (TestNode(i+1,k))bSuit=TRUE;}   return bSuit;}void  Bag(){for (int i=0;i<=1;i++){TestNode(1,i);}}

方法二：

       根据背包问题的特殊性 ，可简化算法

int m,n=5,x[10]={0};int w[6]={0,2,2,6,5,5},v[6]={0,6,3,5,4,6};int c=10;int cw=0,cv=0,bestv=0;int ok(int k){int u=1;if(cw>c)u=0;return u;}int f(int k){int i;if (k>n){for(i=1;i<=n;i++)printf("%d",x[i]);if(cv>bestv)bestv=cv;printf("\n");}else{x[k]=1;    //判断候选值1cw+=w[k];cv+=v[k];if(ok(k))f(k+1);cw-=w[k];  //判断候选值0cv-=v[k];x[k]=0;  if(ok(k))f(k+1);}return k;}