母函数

（原文：http://www.wutianqi.com/?p=596）

(以下内容部分引至杭电ACM课件和维基百科)

在数学中，某个序列的母函数是一种形式幂级数，其每一项的系数可以提供关于这个序列的信息。使用母函数解决问题的方法称为母函数方法。

母函数可分为很多种，包括普通母函数、指数母函数、L级数、贝尔级数和狄利克雷级数。对每个序列都可以写出以上每个类型的一个母函数。构造母函数的目的一般是为了解决某个特定的问题，因此选用何种母函数视乎序列本身的特性和问题的类型。

这里先给出两句话，不懂的可以等看完这篇文章再回过头来看：

"把组合问题的加法法则和幂级数的t的乘幂的相加对应起来"

"母函数的思想很简单—就是把离散数列和幂级数一一对应起来，把离散数列间的相互结合关系对应成为幂级数间的运算关系，最后由幂级数形式来确定离散数列的构造

由此可以看出:

1. x的系数是a1,a2,…an的单个组合的全体。

2. x2的系数是a1,a2,…a2的两个组合的全体。

………

n. xn的系数是a1,a2,….an的n个组合的全体（只有1个）。

由此得到

母函数的定义：

对于序列a0，a1，a2，…构造一函数：

称函数G(x)是序列a0，a1，a2，…的母函数

这里先给出2个例子，等会再结合题目分析：

第一种：

 

有1克、2克、3克、4克的砝码各一枚，能称出哪几种重量？每种重量各有几种可能方案？ 

考虑用母函数来接吻这个问题：

我们假设x表示砝码，x的指数表示砝码的重量，这样：

1个1克的砝码可以用函数1+x表示，

1个2克的砝码可以用函数1+x2表示，

1个3克的砝码可以用函数1+x3表示，

1个4克的砝码可以用函数1+x4表示，

上面这四个式子懂吗？

我们拿1+x2来说，前面已经说过，x表示砝码，x的指数表示重量，即这里就是一个质量为2的砝码，那么前面的1表示什么？1代表重量为2的砝码数量为0个。（理解！）

不知道大家理解没，我们这里结合前面那句话：

"把组合问题的加法法则和幂级数的t的乘幂的相加对应起来"

1+x2表示了两种情况：1表示质量为2的砝码取0个的情况，x2表示质量为2的砝码取1个的情况。

这里说下各项系数的意义：

在x前面的系数a表示相应质量的砝码取a个，而1就表示相应砝码取0个，这里可不能简单的认为相应砝码取0个就该是0*x2(想下为何？结合数学式子)。

Tanky　Woo 的程序人生：http://www.wutianqi.com/

 

所以，前面说的那句话的意义大家可以理解了吧？

几种砝码的组合可以称重的情况，可以用以上几个函数的乘积表示：

(1+x)(1+x2)(1+x3)(1+x4)

=(1+x+x2+x3)(1+x3+x4+x7)

=1+x+x2+2x3+2x4+2x5+2x6+2x7+x8+x9+x10 

从上面的函数知道：可称出从1克到10克，系数便是方案数。（！！！经典！！！）

    例如右端有2x5 项，即称出5克的方案有2：5=3+2=4+1；同样，6=1+2+3=4+2；10=1+2+3+4。

    故称出6克的方案有2，称出10克的方案有1 。

接着上面，接下来是第二种情况：

求用1分、2分、3分的邮票贴出不同数值的方案数：

大家把这种情况和第一种比较有何区别？第一种每种是一个，而这里每种是无限的。

以展开后的x4为例，其系数为4，即4拆分成1、2、3之和的拆分数为4；

即 ：4=1+1+1+1=1+1+2=1+3=2+2

这里再引出两个概念整数拆分和拆分数：

 

所谓整数拆分即把整数分解成若干整数的和（相当于把n个无区别的球放到n个无标志的盒子，盒子允许空，也允许放多于一个球）。

整数拆分成若干整数的和，办法不一，不同拆分法的总数叫做拆分数。 

现在以上面的第二种情况每种种类个数无限为例，给出模板：

#include <iostream>using namespace std;// Author: Tanky Woo// www.wutianqi.comconst int _max = 10001;// c1是保存各项质量砝码可以组合的数目// c2是中间量，保存没一次的情况int c1[_max], c2[_max];int main(){//int n,i,j,k;int nNum; // int i, j, k;while(cin >> nNum){for(i=0; i<=nNum; ++i) // ---- ①{c1[i] = 1;c2[i] = 0;}for(i=2; i<=nNum; ++i) // ----- ②{for(j=0; j<=nNum; ++j) // ----- ③for(k=0; k+j<=nNum; k+=i) // ---- ④{c2[j+k] += c1[j];}for(j=0; j<=nNum; ++j) // ---- ⑤{c1[j] = c2[j];c2[j] = 0;}}cout << c1[n] << endl;}return 0;}

我们来解释下上面标志的各个地方：

①  、首先对c1初始化，由第一个表达式(1+x+x²+..xⁿ)初始化，把质量从0到n的所有砝码都初始化为1.

②  、 i从2到n遍历，这里i就是指第i个表达式，上面给出的第二种母函数关系式里，每一个括号括起来的就是一个表达式。

③、j 从0到n遍历，这里j就是只一个表达式里第j个变量，比如在第二个表达式里：(1+x²+x⁴….)里，第j个就是x^2*j.

③  k表示的是第j个指数，所以k每次增i（因为第i个表达式的增量是i）。

④  、把c2的值赋给c1,而把c2初始化为0，因为c2每次是从一个表达式中开始的

1. 什么样的题型适合用母函数 

      母函数有普通型的，也有指数型的。而我们通常在做题当中碰到的大多是普通型的，指数型的较少，主要用来求解多重排列的题型（我至今未涉及到有关指数型的母函数，希望读者提议，若以后碰到，我会加以补充），接下来，我重点说一下普通型母函数。

    普通型的可以用在求解组合以及整数拆分的题型中。

    例如，对于有n种物品，如果第i个物品有ki个，我们可以列式n个项相乘 (x^0+x^1+...x^k1)*(x^0+x^1+...x^k2)*...*(x^0+x^1+...x^kn)，每一项表示对于第i件物品，可以有(x^0+x^1+...x^ki)中取法，【注意系数都为1，因为同种物品去i件，它的取法是1】多项相乘：因为取m件物品这件事实要分为对n种物品各取分别取1次【0~ki个】，  是组合计数的乘法原理， x^m 的系数是组合成m件物品的所有方案数.（可以参考hduacm课件）

整数拆分

hdu 1028

#include"iostream"  using namespace std;  #define  N 130  int a[N+1],b[N+1];  int main() {     int n,i,j,k;     while(cin>>n&&n!=0)     {         for(i=0;i<=n;i++)         {a[i]=1;b[i]=0;}         for(i=2;i<=n;i++)         {             for(j=0;j<=n;j++)                 for(k=0;k+j<=n;k+=i)                 {                     b[k+j]+=a[j];                 }                 for(j=0;j<=n;j++)                 {                     a[j]=b[j];b[j]=0;                 }         }         cout<<a[n]<<endl;     }     return 0;      }

hdu 2028

hdu2028  #include"iostream"  using namespace std;  #define N 50 #define M 26 int a[M+1],b[M+1],c1[N+1],c2[N+1]; int main() {      int n,i,j,k,sum;         cin>>n;     while(n--)          {             sum=0;                                        for(i=0;i<26;i++)                {                   cin>>a[i];                    b[i]=i+1;                 }                memset(c1,0,sizeof(c1));                memset(c2,0,sizeof(c2));                c1[0]=1;                 for(i=0;i<26;i++)                {                    for(j=0;j<=50;j++)                        if(c1[j])                    for(k=0;k+j<=50&&k<=a[i]*b[i];k+=b[i])                                               {                            c2[k+j]+=c1[j];                        }                    for(j=0;j<=50;j++)                                        {c1[j]=c2[j];c2[j]=0;}                }                    for(i=1;i<=50;i++)                        sum+=c1[i];                    cout<<sum<<endl;                     }                return 0; }

2，需要什么样的母函数来求解

       可以说不同的问题，有不同的解法，对于一道可以用母函数来求解的题而言，可能还有比母函数更简洁的方法，因人而异。不一定遇到组合类型的题型就要用组合函数，在这里我只是要通过一些例子来说明如果我们需要用母函数来求解，那么，该如何选定合适的母函数呢？

   母函数的框架基本一样，

如hdu2082,

for(i=0;i<26;i++){for(j=0;j<=50;j++)if(c1[j])for(k=0;k+j<=50&&k<=a[i]*b[i];k+=b[i])//关键c2[k+j]+=c1[j];for(j=0;j<=50;j++){                c1[j]=c2[j];                c2[j]=0;}}如hdu1028,for(i=2;i<=n;i++){for(j=0;j<=n;j++)for(k=0;k+j<=n;k+=i)//关键{b[k+j]+=a[j];}for(j=0;j<=n;j++){a[j]=b[j];b[j]=0;}}

注：根据题意，仔细分析，建立关系。