母函数

来源：互联网发布：nginx conf.d配置编辑：程序博客网时间：2024/04/28 22:20

转载：http://www.cnblogs.com/FCWORLD/archive/2010/10/10/1847218.html

学了好长时间母函数了，一直没时间进行总结（忙于一些琐事），今天正好放一天假，趁空闲，对母函数做个总结，以便以后更加方便学习。

进入主题：

我对母函数的理解是，母函数，顾名思义，就是母亲，那就说明，在这个函数里面还有儿子，即子函数。说白了，就是子函数可以看作是母函数的一个子集。

而如何把这些子函数用一个母函数来表示呢？即所谓的通项公式，我个人觉的这是问题的症结之处，解决了这一症结，那么，后面的问题就容易多了。

下面我来谈谈怎么来求解母函数：

看过许多有关母函数的资料，介绍母函数的思想基本一样，我这里就通俗理解为：母函数就是一个多项式前面的系数的一个整体的集合，而子函数就是这个多项式每一项前面的系数。

那么，在碰到问题时，我们如何区分它是不是要用母函数来求解？如果用到母函数，那么需要什么样的母函数来求解？母函数是用来解决哪种类型的问题？

我想这是包括我在内的很多初次接触母函数的朋友所关心的问题。

下面我来逐一做出解答：

什么样的题型适合用母函数

母函数有普通型的，也有指数型的。而我们通常在做题当中碰到的大多是普通型的，指数型的较少，主要用来求解多重排列的题型（我至今未涉及到有关指数型的母函数，希望读者提议，若以后碰到，我会加以补充），接下来，我重点说一下普通型母函数。

普通型的可以用在求解组合以及整数拆分的题型中。

例如，对于有n种物品，如果第i个物品有ki个，我们可以列式n个项相乘 (x^0+x^1+...x^k1)*(x^0+x^1+...x^k2)*...*(x^0+x^1+...x^kn)，每一项表示对于第i件物品，可以有(x^0+x^1+...x^ki)中取法，【注意系数都为1，因为同种物品去i件，它的取法是1】多项相乘：因为取m件物品这件事实要分为对n种物品各取分别取1次【0~ki个】，是组合计数的乘法原理， x^m 的系数是组合成m件物品的所有方案数.（可以参考hduacm课件）

整数拆分(HDU1028)

 #include"iostream"  using namespace std;  #define  N 130  int a[N+1],b[N+1];  int main() {     int n,i,j,k;     while(cin>>n&&n!=0)     {         for(i=0;i<=n;i++)         {a[i]=1;b[i]=0;}         for(i=2;i<=n;i++)         {             for(j=0;j<=n;j++)                 for(k=0;k+j<=n;k+=i)                 {                     b[k+j]+=a[j];                 }                 for(j=0;j<=n;j++)                 {                     a[j]=b[j];b[j]=0;                 }         }         cout<<a[n]<<endl;     }     return 0;      }

hdu2028  #include"iostream"  using namespace std;  #define N 50 #define M 26 int a[M+1],b[M+1],c1[N+1],c2[N+1]; int main() {      int n,i,j,k,sum;         cin>>n;     while(n--)          {             sum=0;                                        for(i=0;i<26;i++)                {                   cin>>a[i];                    b[i]=i+1;                 }                memset(c1,0,sizeof(c1));                memset(c2,0,sizeof(c2));                c1[0]=1;                 for(i=0;i<26;i++)                {                    for(j=0;j<=50;j++)                        if(c1[j])                    for(k=0;k+j<=50&&k<=a[i]*b[i];k+=b[i])                                               {                            c2[k+j]+=c1[j];                        }                    for(j=0;j<=50;j++)                                        {c1[j]=c2[j];c2[j]=0;}                }                    for(i=1;i<=50;i++)                        sum+=c1[i];                    cout<<sum<<endl;                     }                return 0; }

2，需要什么样的母函数来求解

可以说不同的问题，有不同的解法，对于一道可以用母函数来求解的题而言，可能还有比母函数更简洁的方法，因人而异。不一定遇到组合类型的题型就要用组合函数，在这里我只是要通过一些例子来说明如果我们需要用母函数来求解，那么，该如何选定合适的母函数呢？

母函数的框架基本一样，如hdu2082,

 for(i=0;i<26;i++)        {            for(j=0;j<=50;j++)            if(c1[j])                 for(k=0;k+j<=50&&k<=a[i]*b[i];k+=b[i])//关键                    c2[k+j]+=c1[j];                for(j=0;j<=50;j++)              {                c1[j]=c2[j];                c2[j]=0;               }        }       如hdu1028,         for(i=2;i<=n;i++)   {             for(j=0;j<=n;j++)                for(k=0;k+j<=n;k+=i)//关键                   {                     b[k+j]+=a[j];                   }                for(j=0;j<=n;j++)               {                   a[j]=b[j];b[j]=0;                }     }注：根据题意，仔细分析，建立关系。