求解一元四次方程

费拉里：

基本想法是将一元四次方程的表达式配成两个完全平方表达式的等式，为了实现这个目的，需要在此之前解一个一元三次方程，得到配方的系数。解法如下：

一般一元四次方程为：

x^4+c1x^3+c2x^2+c3x+c4=0

移项后：

x^4+c1x^3=-c2x^2-c3x-c4

两边同时加上(c1x/2)^2:

x^4+c1x^3+(c1x/2)^2 = -c2x^2-c3x-c4+(c1x/2)^2

整理为：

(x^2 + c1x/2)^2 = (c1^2/4-c2)x^2-c3x-c4

两边再同时加上 (x^2+c1x/2)y + (y/2)^2

(x^2 + c1x/2)^2 + (x^2+c1/2)y + (y/2)^2 = (c1^2/4-c2)x^2-c3x-c4 + (x^2+c1x/2)y + (y/2)^2

再整理：

((x^2+c1x/2）+ y/2)^2 = (c1^2/4-c2+y)x^2 + (c1y/2-c3)x +(y/2)^2-c4.....（1）

左边为一个完全平方式，右边为一个x的二次多项式(系数中含有y),

为了使右边也成为一个完全平方式，必须使其判别式为零，即：

DAT = [(c1y/2-c3)]^2 - 4 * [(c1^2/4-c2+y)] * [(y/2)^2-c4] = 0

于是，得到一个关于y的一元三次方程。

-y^3 + c2y^2 + (4c4-c1c3)y+c3^2+c4c1^2-4c4c2=0

只要解这个一元三次方程得到一个解y0，代入（1）右边，并令右边=0解出配方常量x0;

便可得到两边都为完全平方的方程，原一元四次方程被降为一元二次方程。可轻松求解。

令k=sqrt(c1^2/4-c2+y0)

((x^2+c1x/2）+ y0/2)^2 =(kx-kx0)^2

即：

(x^2+c1x/2）+ y0/2 = kx-kx0

(x^2+c1x/2）+ y0/2 = -kx+kx0

整理为：

x^2+（c1/2-k）x + y0/2 + kx0 = 0

x^2 +(c1/2+k）x + y0/2 - kx0 = 0

解这两个一元二次方程的解，即为一元四次方程的解。