并查集 [维基百科]

并查集是一种树型的数据结构，用于处理一些不相交集合（Disjoint Sets）的合并及查询问题。常常在使用中以森林来表示。

目录

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• 1 主要操作
  • 1.1 合并两个不相交集合
  • 1.2 判断两个元素是否属于同一集合
• 2 并查集的优化
  • 2.1 路径压缩
  • 2.2 Rank合并
• 3 源代码
• 4 时间及空间复杂度
• 5 应用

[编辑]主要操作

需要注意的是，一开始我们假设元素都是分别属于一个独立的集合里的。

[编辑]合并两个不相交集合

操作很简单：先设置一个数组Father[x]，表示x的“父亲”的编号。 那么，合并两个不相交集合的方法就是，找到其中一个集合最父亲的父亲（也就是最久远的祖先），将另外一个集合的最久远的祖先的父亲指向它。

Pascal代码：

function Union(x,y:integer):boolean;{其中GetFather是下面将讲到的操作} var fx,fy : integer;  begin     fx := getfather(x);     fy := getfather(y);     If fx=fy then exit(false)                 else Union:= true;    father[fx] := fy;{指向最祖先的祖先}  end;

C语言代码表示形式:

void Union(int x,int y){    fx = getfather(x);    fy = getfather(y);    if(fy!=fx)       father[fx]=fy;}

[编辑]判断两个元素是否属于同一集合

仍然使用上面的数组。则本操作即可转换为寻找两个元素的最久远祖先是否相同。可以采用递归实现。

Pascal代码：

Function Same(x,y:integer):boolean;begin  if GetFather(x)=GetFather(y) then     exit(true) else    exit(false);end;

C代码：

bool same(int x,int y){   return getfather(x)==getfather(y);}/*返回true 表示相同根结点，返回false不相同*/

[编辑]并查集的优化

[编辑]路径压缩

刚才我们说过，寻找祖先时采用递归，但是一旦元素一多起来，或退化成一条链，每次GetFather都将会使用O(n)的复杂度，这显然不是我们想要的。

对此，我们必须要进行路径压缩，即我们找到最久远的祖先时“顺便”把它的子孙直接连接到它上面。这就是路径压缩了。使用路径压缩的代码如下：

Function getfather(v:integer):integer;  begin    if (father[v]=v) then      getfather:=v    else      begin        father[v]:=getfather(father[v]);{路径压缩}        getfather:=father[v];      end;  end;

int getfather(int v){    if (father[v]==v)      return v;    else    {        father[v]=getfather(father[v]);//路径压缩        return father[v];     }}

Procedure Initialize;var  i:integer;begin  for i:=1 to maxv do     Father[i]:=i;end; Function GetFather(v:integer):integer;begin  if Father[v]=v then     exit(v) else    Father[v]:=getfather(father[v]);{路径压缩}  exit(Father[v]);end;

[编辑]Rank合并

合并时将元素所在深度低的集合合并到元素所在深度高的集合。

function judge(x,y:integer):boolean; var fx,fy : integer;  begin     fx := getfather(x);     fy := getfather(y);     If fx=fy then        exit(true) else        judge := false;     if rank[fx]>rank[fy] then       father[fy] := fx else begin       father[fx] := fy;       if rank[fx]=rank[fy] then          inc(rank[fy]);     end;  end;

初始化：

fillchar(rank,sizeof(rank),0);

C语言代码： 合并时将元素所在深度低的集合合并到元素所在深度深的集合。

void judge(int x ,int y) {     fx = getfather(x);     fy = getfather(y);      if (rank[fx]>rank[fy])        father[fy] = fx;     else     {        father[fx] = fy;        if(rank[fx]==rank[fy])           ++rank[fy];     }}

初始化：

memset(rank,0,sizeof(rank));

[编辑]源代码

加了所有优化的代码框架：

function getfather(v:longint):longint;begin  if father[v]=v then    exit(v) else     father[v]:=getfather(father[v]);    exit(father[v]);end;

[编辑]时间及空间复杂度

它使用的空间（为元素数量），单次操作的均摊时间为。其中是的反函数，而是阿克曼函数。

[编辑]应用

Kruskal算法的优化